Kapitel 1
Optik und optische Instrumente

Licht oder allgemein elektromagnetische Wellen sind eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Untersuchung der Natur. Daher spielt Licht eine entscheidende Rolle in der Biologie, der Chemie und insbesondere auch in der Physik. Aus diesem Grund befassen wir uns mit der Optik, dem Teilbereich der Physik, der sich mit der Ausbreitung von Licht und mit der Wechselwirkung von Licht mit Materie auseinandersetzt.

In der klassischen Elektrodynamik wird elektromagnetische Strahlung (Licht) erfolgreich als Wellenphänomen beschrieben. Die Maxwell-Gleichungen erlauben es eine grosse Anzahl von Beobachtungen präzise zu erklären. Ein klassisches Beispiel ist die Beugung von Licht an einem Einzelspalt oder die Interferenz von Licht an einem Doppelspalt. Diese Phänomene lassen sich durch die Welleneigenschaften von elektromagnetischer Strahlung vollständig beschreiben.

Unter bestimmten experimentellen Bedingungen zeigt elektromagnetische Strahlung jedoch Eigenschaften, die sich nicht mehr mit klassischem Elektromagnetismus im Wellenbild erklären lassen. Zum Beispiel zeigt sich, dass die Energie, die von einer elektromagnetischen Welle transportiert wird, in Einheiten von einzelnen Photonen quantisiert ist. Des Weiteren kann man beobachten, dass diese Lichtteilchen, obwohl sie masselos sind, ebenfalls einen Impuls tragen.

Welche dieser Eigenschaften des Lichts nun beobachtet werden, hängt sehr spezifisch von den Bedingungen ab, unter welchen Experimente mit Licht durchgeführt werden.

Zur Einführung betrachten wir anhand eines allgemeingültigen experimentellen Aufbaus zur Untersuchung der Eigenschaften von Licht (siehe Abb. 1.1) verschiedene Bedingungen, unter denen Wellen- oder Teilcheneigenschaften von Licht zu beobachten sind. Der Aufbau besteht zunächst aus einer häufig als punktförmig approximierten Lichtquelle, die Licht der Wellenlänge λ (Frequenz ν ) mit einer Intensität I (Leistung pro Fläche) isotrop (mit denselben Eigenschaften) in alle Richtungen des Raumes aussendet. Befindet sich die Lichtquelle im Brennpunkt einer Sammellinse der Brennweite f , so lässt sich das Licht hinter der Linse in guter Näherung als ebene elektromagnetische Welle beschreiben. Häufig wird dann die Wechselwirkung des so erzeugten Lichts mit einem Objekt von Interesse untersucht. Dieses Objekt könnte zum Beispiel ein Doppelspalt sein oder auch ein einfaches kugelförmiges Objekt mit Durchmesser d und Masse m . Nach der Wechselwirkung mit dem Objekt wird das Licht meistens mit einem Schirm, oder einem anders beschaffenen Detektor, aufgefangen und die Intensität I der detektierten Strahlung als Funktion des Ortes dargestellt.


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Abb. 1.1: Typischer Aufbau zur Untersuchung der Eigenschaften von Licht: Eine punktförmige, sich im Brennpunkt einer Sammellinse befindende Lichtquelle sendet Licht aus. Nach der Linse trifft dieses auf ein Objekt der Masse m und der Grösse d und wird schlussendlich auf einem Schirm oder einem Detektor registriert.


Bei der Durchführung und Interpretation von Experimenten dieser Art sind die experimentellen Bedingungen, die mitunter starken Einfluss auf die beobachtbaren physikalischen Phänomene haben, ausschlaggebend.

  • In der geometrischen Optik beschreiben wir das Licht als geometrische Strahlen, die sich nach einfachen Prinzipien im Raum ausbreiten. Dabei nehmen wir an, dass die Wellenlänge des verwendeten Lichts λ viel kleiner ist als die Objekte mit denen es wechselwirkt. λ ist aber typischerweise gleichzeitig gross gegen atomare Längenskalen der relevanten Objekte. Ebenfalls nehmen wir realistischerweise an, dass die Massen m der im Experiment verwendeten Objekte so gross sind, dass das mit ihnen wechselwirkende Licht keinen nennenswerten Impuls auf die Objekte überträgt. Ausserdem ist die Intensitätsverteilung des Lichts nach passieren der Apparatur nur mit endlich grosser Auflösung messbar. Dies führt dazu, dass Interferenz-1 und Beugungsphänomene2 in Abhängigkeit von der Wellenlänge des Lichts, von den geometrischen Eigenschaften des Strahlengangs und von der Ortsauflösung des Detektors meist nicht beobachtet werden können. In einem solch einfachen Fall ergibt sich die Intensitätsverteilung auf dem Schirm schlicht als geometrisches Schattenbild des Objekts.
  • In der Wellenoptik betrachtet man den Fall, dass die Wellenlänge λ des verwendeten Lichts von ähnlicher Grössenordnung sein kann wie die Abmessungen d des Objekts. In diesem Fall treten Interferenz- oder Beugungserscheinungen bei den Experimenten zu Tage, z.B. wenn Doppelspalte oder Gitter als Objekte verwendet werden. Bei ausreichend grosser Ortsauflösung des Detektors, z.B. von der Grössenordnung λ , können Beugungserscheinungen z.B. auch an einem einzelnen kugelförmigen Objekt beobachtet werden. Dabei bemerken wir, dass die Masse m der im Experiment betrachteten Objekte immer noch gross ist, so dass der Impulsübertrag bei der Wechselwirkung mit Photonen vernachlässigt werden kann. Unter diesen Bedingungen zeigt das Licht klar die Eigenschaften elektromagnetischer Wellen.
  • In der Quantenoptik betrachten wir nun die Situation, dass die Objekte, deren Wechselwirkung mit Licht wir beobachten, kleiner sind als die Wellenlänge des Lichts, d.h. d ≪ λ , und die Masse m klein genug ist, so dass das Licht einen merkbaren Impuls auf das Objekt übertragen kann. In diesem Fall werden neue Effekte wie z.B. der Photoeffekt (siehe Kapitel 2) oder der Compton-Effekt (siehe Abschnitt 4.2) beobachtbar. Beim Photoeffekt werden durch die Wechselwirkung mit einzelnen Photonen einzelne Elektronen aus einem Material gelöst. Der Compton-Effekt beschreibt die Wechselwirkung zwischen einem Photon und einem freien Elektron. Es wird sich herausstellen, dass diese Wechselwirkung analog zur Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen, bei der Energie- und Impulserhaltung gilt, betrachtet werden kann. Hier reicht eine klassische Beschreibung der Eigenschaften des Lichts im Wellenbild nicht mehr aus, um die auftretenden physikalischen Phänomene zu beschreiben. Mit solchen Situationen werden wir uns ausführlich in den nächsten Kapiteln befassen.

In diesem Kapitel befassen wir uns zunächst mit dem klassischen Zugang zur Beschreibung von Licht, der geometrischen Optik und der Wellenoptik. Im Bereich der geometrischen Optik steht die Behandlung von Abbildungen durch Linsen oder Linsensysteme wie das Teleskop oder das Mikroskop im Zentrum. In der Wellenoptik diskutieren wir insbesondere die Phänomene Interferenz, Beugung und Polarisation, sowie die Messung von Spektren.

1.1 Geometrische Optik

Wie bereits erwähnt, befasst sich die geometrische Optik mit dem Grenzfall, bei dem die Wellenlänge des Lichts viel kleiner ist als die Objekte mit denen es wechselwirkt und die Objekte eine grosse Masse aufweisen. In diesem Fall kann Licht durch Strahlen beschrieben werden. In diesem Abschnitt befassen wir uns ausführlich mit diesem Grenzfall. Als erstes gehen wir auf das Fermatsche Prinzip ein, welches die Grundlage für die geometrische Optik bildet. Als nächstes behandeln wir Linsen und deren Abbildungseigenschaften und zum Abschluss die Anwendung von Linsen in optischen Instrumenten.

1.1.1 Fermatsches Prinzip

In der Literatur lassen sich verschiedene Formulierungen des Fermatschen Prinzips finden. Die zwei meistverbreiteten sind die folgenden:

  • Das Licht wählt von einem Punkt zu einem anderen den Weg, für den die benötigte Zeit minimal ist.
  • Das Licht wählt von einem Punkt zu einem anderen den Weg, welcher extremal ist bezüglich Variationen der optischen Weglänge.

Die erste Formulierung ist möglichst einfach gehalten, so dass jeder sich etwas darunter vorstellen kann. Die zweite Formulierung bedarf noch weitere Ausführungen, ist aber besser geeignet für die mathematische Beschreibung des Fermatschen Prinzips. Wir wenden uns deshalb der zweiten Formulierung zu und führen den Begriff der optischen Weglänge ein. Die optische Weglänge ist ein Mass für die Zeit, die das Licht benötigt um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen. Wie es der Name schon sagt, ist es aber eine Längenangabe. Zur Motivation der Definition bestimmen wir die Zeit, die das Licht benötigt um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen. Im Vakuum benötigt das Licht für eine Distanz s die Zeit

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Legt das Licht jedoch dieselbe Strecke s in einem Medium mit Brechungsindex n zurück, so breitet es sich mit einer Geschwindigkeit c∕n aus und benötigt daher die Zeit

Aus diesem Grund legt man die optische WeglängeOW L fest als Produkt aus Brechungsindex n des Mediums und zurückgelegtem Weg s des Lichts

Das Fermatsche Prinzip besagt nun, dass die optische Weglänge zwischen dem vom Licht gewählten Weg und einem leicht von diesem abweichenden Weg in erster Ordnung nicht ändert.

Die die einfachste Folgerung aus dem Fermatschen Prinzip ist, dass sich Licht in einem homogenen Medium entlang einer geraden Linie bewegt. Dies entspricht dem Minimum der entsprechenden optischen Weglänge und folglich einem Extremalwert. In diesem einfachen Fall wäre auch die erste einfachere Formulierung des Fermatschen Prinzips ausreichend und würde zum selben Schluss führen.

Zur besseren Illustration der Anwendung des Fermatschen Prinzips, betrachten wir eine aus der Elektrodynamik bekannte Fragestellung: Welchen Weg wählt das Licht zwischen zwei Punkten P1(x1,z1) und P2(x2,z2) , wobei sich der erste im Medium 1 mit Brechungsindex n1 und der zweite im Medium 2 mit Brechungsindex n2 befindet (siehe Abb. 1.2)? Bezeichnen wir den Punkt, bei dem das Licht vom Medium 1 ins Medium 2 übergeht mit Pc (xc,0) , so ergibt sich für die optische Weglänge OW L(xc) in Abhängigkeit von xc von P1 nach P2

Den Extremalwert (Minimum) erhalten wir, indem wir die Ableitung der optischen Weglänge OW L(xc) nach xc gleich null setzen. Es ergibt sich

Führen wir den Einfallswinkel ϑi und den Ausfallswinkel ϑt ein, so ergibt sich daraus das bekannte Brechungsgesetz von Snellius3


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Abb. 1.2: Das Licht breitet sich von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein zweites Medium mit Brechungsindex n2 aus. Den Weg, den das Licht von P (x ,z ) 1 1 1 nach P (x ,z ) 2 2 2 wählt, geht durch den Punkt P (x ,0) c c , welcher durch das Fermatsche Prinzip bestimmt werden kann.


Analog lässt sich mit dem Fermatschen Prinzip das Reflexionsgesetz herleiten.

1.1.2 Linsen

Eines der wichtigsten optischen Elemente sind Linsen. Darunter versteht man speziell geformte transparente Körper, die in optischen Instrumenten (z.B. Mikroskop oder Auge) verwendet werden um Gegenstände abzubilden. Sie werden gemäss ihren Abbildungseigenschaften in Sammellinsen (konvexe Linsen) und Streulinsen (konkave Linsen) unterteilt. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion von Sammellinsen (siehe Abb. 1.3).


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Abb. 1.3: Eine Sammellinse bricht Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse eintreffen so, dass sie sich im Brennpunkt F der Sammellinse kreuzen. Der Abstand zwischen Linsenmitte und dem Brennpunkt F bezeichnet man als Brennweite f der Linse.


Als erstes befassen wir uns mit der Frage, wie eine Sammellinse ein Bild eines Gegenstands erzeugt und wie dieses konstruiert werden kann. Die entscheidende Bedingung, damit ein Bildpunkt entsteht ist, dass sich alle Lichtstrahlen eines Gegenstandspunkts, die den Bildschirm hinter der Linse treffen, ihn in einem Punkt treffen. Zur Konstruktion des Bildes beschränken wir uns auf dünne Sammellinsen. Diese haben folgende zwei wichtige Eigenschaften:

  • Wie allgemein bei Sammellinsen, wird ein parallel zur optischen Achse einfallender Lichtstrahl (Parallelstrahl) an einer dünnen Sammellinse so gebrochen, dass er anschliessend durch den Brennpunkt der Linse geht.
  • Ein Lichtstrahl, der durch die Linsenmitte geht (Mittelpunktstrahl) durchläuft die Sammellinse geradlinig.

Das Bild eines Gegenstands lässt sich nun wie folgt konstruieren: Für einige ausgezeichnete Gegenstandspunkte werden die entsprechenden Parallel- und Mittelpunktstrahlen gezeichnet und die Schnittpunkte bestimmt. Bei der Abbildung eines Bleistifts genügt z.B. die Konstruktion der Bildpunkte  ′ P und  ′ Q für die beiden Endpunkte P und Q (siehe Abb. 1.4). Da wir bei dieser Konstruktion den genauen Verlauf der Lichtstrahlen durch die Linse nicht kennen müssen, haben wir die Linse in Abb. 1.4 auf die Hauptebene der Linse reduziert. Zudem haben wir die Gegenstandsgrösse G , die Bildgrösse B , die Gegenstandsweite g und die Bildweite b eingeführt.


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Abb. 1.4: Abbildung eines Bleistifts mit einer sehr dünnen Sammellinse: Die Bildpunkte P ′ und Q′ ergeben sich als Schnittpunkte von Parallel- und Mittelpunktstrahl der Gegenstandspunkte P und Q .


Nach dem zweiten Strahlensatz ergeben sich folgende Beziehungen

Gleichung (1.7) entspricht dem Abbildungsgesetz für dünne Sammellinsen und durch Gleichsetzen der Gleichungen (1.7) und (1.8) und einigen Umformungen erhalten wir zudem die Linsengleichung für dünne Sammellinsen

Bevor wir im nächsten Abschnitt auf die Form einer Linse eingehen, diskutieren wir hier noch einige der Abbildungseigenschaften einer Sammellinse. Genauer gesagt, wir fragen uns, welchen Einfluss die Wahl der Gegenstandsweite g auf das Bild hat. Eine Übersicht gibt Tab. 1.1. An dieser Stelle gehen wir nur kurz auf den Spezialfall g = f ein. In diesem Fall breiten sich die Lichtstrahlen, ausgehend von einem Punkt in der Brennebene, nach der Linse parallel unter einem bestimmten Winkel zur optischen Achse aus. Da sich diese parallelen Lichtstrahlen nicht kreuzen, entsteht somit auch kein Bildpunkt. Umgekehrt trifft sich parallel einfallendes Licht sich nach der Linse in einem Punkt der Brennebene. Diese Eigenschaft wird bei der Untersuchung von Beugung verwendet (siehe Abschnitt 1.2.2): Um Beugung zu beobachten, ist es wichtig das Licht aus einer bestimmten Richtung auf einen Punkt des Detektors zu fokussieren. Nach unseren Ausführungen können wir dazu eine Sammellinse verwenden und unseren Detektor in der Brennebene aufstellen.






Gegenstandsweite Bildgrösse Orientierung Bildtyp




       
g > 2f verkleinert um 180o gedreht reell
g = 2f gleich gross um 180o gedreht reell
f < g < 2f vergrössert um  o 180 gedreht reell
g = f kein Bild
g < f vergrössert aufrecht virtuell




       

Tab. 1.1: Abbildungseigenschaften einer Sammellinse in Abhängigkeit der Wahl der Gegenstandsweite g . Zum Bildtyp ist anzumerken, dass bei reellen Bildern Licht auf die Hand fällt, wenn diese dorthin gehalten wird, wo das (reelle) Bild gesehen wird. Im Gegensatz dazu fällt bei virtuellen Bildern kein Licht auf die Hand, wenn diese dorthin gehalten wird, wo das (virtuelle) Bild gesehen wird.

1.1.3 Die Form einer Linse

Hier gehen wir der Frage nach, welche Form eine Linse haben sollte. Genauer gesagt fragen wir uns, welche Form eine Linse nach dem Fermatschen Prinzip aufweisen sollte. Um die Aufgabe zu vereinfachen, gehen wir von der einfachsten Linse aus, einer gekrümmten Grenzfläche zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n1 < n2 (siehe Abb. 1.5).


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Abb. 1.5: Einfachste Linse: Gekrümmte Grenzfläche zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n1 < n2 .


Wir wissen, dass sich parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen im Brennpunkt treffen. Nach dem Fermatschen Prinzip müssen nun alle diese parallelen Lichtstrahlen die selbe optische Weglänge aufweisen. Da die Lichtstrahlen, welche weiter entfernt sind von der optischen Achse, einen längeren Weg zurücklegen als Lichtstrahlen, welche sich näher bei der optischen Achse befinden, müssen die näherliegenden gegenüber den weiter entfernten abgebremst werden. Wir können dies bewerkstelligen, indem wir die näherliegenden Lichtstrahlen sich länger durch das „langsamere“ Material4 n2 ausbreiten lassen. Aus diesem Grund ergibt sich eine (für Sammellinsen typische) konvexe Grenzfläche.

Wir beschreiben diese Grenzfläche hier noch genauer. Die gesamte optische Weglänge OW L (h ) für einen parallel einfallenden Lichtstrahl in Abhängigkeit des Abstands h gegenüber der optischen Achse ergibt sich zu

wobei f die Brennweite ist und g(h) der zusätzliche Weg im Material n1 , welcher ein im Abstand h zur optischen Achse einfallender Lichtstrahl gegenüber einem Lichtstrahl entlang der optischen Achse zurücklegt. Nach dem Fermatschen Prinzip müssen wir nun den Weg bestimmen, welcher extremal ist bezüglich Variationen der optischen Weglänge. In unserem Fall ändert sich der optische Weg in Abhängigkeit des Abstands h des einfallenden Lichtstrahls gegenüber der optischen Achse. Demzufolge haben wir die Ableitung der optischen Weglänge OW L(h) nach h zu bilden und diese gleich null zu setzen. Wir erhalten

Diese Differentialgleichung zu lösen, ist aufgrund dem mehrfachen Auftreten von g(h) und g′(h) eine komplexe Aufgabe. Daher ist zu vermuten, dass es sich um eine mathematisch schwierig zu beschreibende Linsenform handelt. Dies wird auch deutlich in der Tatsache, dass die Herstellung einer Linse, bei der eine Fehlertoleranz von etwa einer Wellenlänge erlaubt ist, eine grosse Herausforderung darstellt.

Wir betrachten deshalb an dieser Stelle eine Näherungslösung. Wir nehmen an, dass die einfallenden Lichtstrahlen nur kleine Winkel gegenüber der optischen Achse aufweisen und nahe bei der optischen Achse bleiben (paraxiale Näherung), d.h. wir betrachten eine Lösung für kleine h . Als erstes entwickeln wir g(h) für kleine h

Da die Linse symmetrisch ist bezüglich der optischen Achse, kommen nur gerade Potenzen vor. Daher gilt a0 = a1 = 0 und somit

Einsetzen in die Gleichung (1.10) für die optische Weglänge OW L (h) ergibt

Ableiten nach h und gleich null setzen ergibt

Daraus folgt

und somit

Das bedeutet, dass die Grenzfläche innerhalb unserer Näherung parabelförmig ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass auch parabelförmige Flächen nicht so einfach herzustellen sind, weshalb oftmals kugelförmige Flächen verwendet werden. Für eine kugelförmige Grenzfläche mit Radius R ≫ h gilt

Gleichsetzen mit (1.17) ergibt für den Krümmungsradius

Demzufolge benötigen wir für eine kleine Brennweite f (starke Linse) einen kleinen Krümmungsradius R . Das wiederum bedeutet, dass die Grenzfläche stark gekrümmt ist und im Allgemeinen eine dicke Linse eingesetzt werden muss.

In unserer Berechnung haben wir zwei Näherungen benutzt: Die erste bestand darin, dass wir die vierte und alle höheren Ordnungen in h vernachlässigt haben und die zweite, dass wir die parabelförmige Grenzfläche durch eine kugelförmige ersetzt haben. Es stellt sich nun die Frage, welcher Fehler (in der optischen Weglänge) durch diese Näherungen entsteht. Um den führenden Term des Fehlers zu bestimmen, entwickeln wir die Funktion g(h) für die kugelförmige Grenzfläche bis zur vierten Ordnung in h und setzen das Resultat in die Gleichung (1.10) für die optische Weglänge OW L (h ) ein. Die Entwicklung von g(h) ergibt

wobei wir den Radius R durch (1.19) ersetzt haben. Nun setzen wir diese Formel, wie erwähnt, in die Gleichung (1.10) für die optische Weglänge OW L (h ) ein. Es ergibt sich

Somit lautet der führende Term des Fehlers in der optischen Weglänge

Wir nennen solche Fehler Aberrationen. Im Allgemeinen gibt es verschiedene Arten von Aberrationen. In unserem Fall handelt sich bei der Grenzfläche nicht um diejenige Form, die exakt dem Fermatschen Prinzip entspricht. Man spricht daher von sphärischen Aberrationen. Chromatische Aberrationen treten auf, da die Brechungsindizes n1 und n2 von der Wellenlänge abhängen. An dieser Stelle sei zudem bemerkt, dass wir uns in der Herleitung auf parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen beschränkt haben, die sich im Brennpunkt sammeln. Aufgrund all dieser Punkte ist die Herstellung von Linsen eine ziemlich komplexe Angelegenheit. Je nach Einsatzgebiet kommen aber nicht alle Aberrationen zum Tragen, weshalb es wichtig ist, vor der Herstellung den Bereich zu kennen, in dem die Linse eingesetzt werden soll5 .

Kommen wir nochmals zurück auf den für die optische Weglänge berechneten Fehler (1.22). Einerseits finden wir eine lineare Abhängigkeit von h . Dies entspricht unserer Intuition, dass sich der Fehler proportional zur der Länge eines Systems verhält. Andererseits haben wir eine Abhängigkeit von (h ∕f)3 , d.h. solange h ≪ f , ist dieser Fehler klein. Wir werden sehen, dass, wenn wir bei einem Mikroskop eine hohe Auflösung erreichen möchten, wir Linsen mit grossem Durchmesser einsetzen müssen (siehe Abschnitt 1.3). Der Grund dafür liegt in der Begrenzung des Auflösungsvermögens durch Beugungseffekte. Wir sollten dabei zudem beachten, dass wenn die Linse zu gross wird, das Auflösungsvermögen auch durch sphärische Aberrationen begrenzt werden könnte, da diese schnell mit h∕f anwachsen.

Zum Abschluss dieses Abschnitts sei auch noch darauf hingewiesen, dass wir uns hier mit den einfachsten Linsen beschäftigten. Im Normalfall haben Linsen z.B. zwei Grenzflächen. Dennoch konnten wir einige wesentliche Erkenntnisse über die Form einer Linse gewinnen. Im Weiteren ist es auch möglich auf einem anderen Weg die Form einer Linse zu bestimmen. Eine Alternative wäre z.B. das Brechungsgesetz von Snellius zu verwenden. Schlussendlich sind jedoch alle Möglichkeiten äquivalent, aber je nach Kontext unterschiedlich gut geeignet.

1.1.4 Optische Instrumente

Linsen kommen in verschiedenen optischen Instrumenten zur Anwendung. In diesem Abschnitt besprechen wir einige grundlegende Beispiele.

Das Auge

Das optische Instrument, welches von den Menschen am häufigsten eingesetzt wird, ist das Auge (siehe Abb. 1.6). Es ist ein wunderbares Instrument, hat aber auch seine Einschränkungen. Wir gehen hier kurz auf die einzelnen Bestandteile eines Auges ein und klären die Frage, wie auf der Netzhaut ein Bild entsteht.


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Abb. 1.6: Skizze eines Auges (Querschnitt).


Die Hornhaut dient als Schutzschicht für das Auge. Die Aufgabe des Kammerwassers ist die Linse und die Hornhaut mit Nährstoffen zu versorgen. Die Pupille stellt eine veränderbare Öffnung in der farbigen Iris dar und erlaubt es die ins Auge gelangende Lichtmenge zu regulieren. Der ringförmige Ziliarmuskel umschliesst die elastische Linse. Durch Anspannen oder Entspannen dieses Muskels kann die Form und damit die Brennweite der Linse verändert werden. Die Netzhaut besteht aus lichtempfindlichen Fotorezeptoren, die das Bild registrieren und der Sehnerv leitet schlussendlich die Bildsignale der Netzhaut zum Gehirn weiter.

Verwandte Aufbauten bilden die Grundlage für verschiedene optische Instrumente, wie z.B. die Digitalkamera. Einen wichtigen Unterschied ist jedoch zu erkennen. Bei einer Kamera ist die Brennweite der Linse fest und durch Änderung des Abstands zwischen Linse und „Bildschirm“ kann das Bild scharf gestellt werden. Beim Auge hingegen ist der Abstand zwischen Linse und Netzhaut fest. Dafür erlaubt es der Ziliarmuskel die Brennweite der Linse zu verändern. Dies ist jedoch auch nur begrenzt möglich, was z.B. dazu führt, dass wir ein Bild, das näher als etwa 15 cm vor unseren Augen ist, nicht mehr scharf auflösen können. Weitere Einschränkungen ergeben sich aus der Tatsache, dass die lichtempfindlichen Fotorezeptoren nur eine beschränkte Grösse aufweisen und sich auf einen Teilbereich der Netzhaut beschränken. Diese Einschränkungen können in verschiedenen Situationen zu Problemen führen (z.B. wenn wir Details am Himmel beobachten möchten). Dies führte zur Entwicklung einiger optischer Instrumente, die es erlauben das in unser Auge einfallende Licht so zu manipulieren, dass auch Gegenstände abgebildet werden können, die von unserem Auge nicht scharf abgebildet werden könnten. Zwei davon, das Teleskop und das Mikroskop, betrachten wir im Folgenden etwas genauer.

Das Teleskop

Möchte unser Auge Details am Himmel erkennen, stösst es schnell an seine Grenzen. Treffen z.B. Lichtstrahlen von unterschiedlichen, weit entfernten Objekten (z.B. Sternen) in unser Auge, so entstehen aufgrund des kleinen Winkels zwischen den Lichtstrahlen die Bilder der beiden Objekte in einem einzelnen Fotorezeptor der Netzhaut und wir nehmen sie als ein Bild wahr. Das bedeutet, dass wir diesen Winkel vergrössern müssen, um Details am Himmel zu erkennen. Genau das ist die Funktion eines Teleskops.

Ein Teleskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen mit den Brennweiten f1 > f2 (siehe Abb. 1.7). Die Linsen sind hintereinander angeordnet und haben einen gemeinsamen Brennpunkt. Wir betrachten nun zwei Sterne, wobei der erste auf der optischen Achse der Linsen liegt. Die Sterne sind so weit entfernt, dass wir beim Eintreffen der Lichtstrahlen beim Teleskop von parallelen Strahlen ausgehen können. Den Winkel zwischen den Lichtstrahlen des ersten und des zweiten Sterns beim Eintritt in das Teleskop bezeichnen wir mit Δ ϑ . Aufgrund der ersten Linse entstehen nun in der gemeinsamen Hauptebene der Linsen Zwischenbilder der beiden Sterne mit Abstand

wobei sich das Zwischenbild des ersten Sterns im Brennpunkt befindet. Die zweite Linse richtet die eintreffenden Lichtstrahlen wieder parallel aus. Für den Winkel Δ ϑ′ zwischen den Lichtstrahlen der beiden Sterne nach dem Teleskop gilt dabei

Einsetzen von (1.23) ergibt

Da wir hier kleine Winkel Δ ϑ und Δ ϑ′ vorliegen haben, gilt somit näherungsweise

Folglich kann ein Teleskop den Winkel Δϑ um einen Faktor f1∕f2 vergrössern, was unserem Auge erlaubt auch kleinere Details am Himmel zu erkennen.


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Abb. 1.7: Skizze eines einfachen Teleskops aus zwei Linsen mit den Brennweiten f1 > f2 .


Das Mikroskop

Wie erwähnt, ist unser Auge nicht in der Lage Bilder scharf aufzulösen, die näher als etwa 15 cm von unserem Auge entfernt sind. Der Grund dafür ist, dass der Winkelbereich des vom Objekt eintreffenden Lichts zu gross wird und es für die Linse im Auge nicht mehr möglich ist die Lichtstrahlen so zu bündeln, dass ein Bild auf unserer Netzhaut entsteht. Dies führt insbesondere zu Problemen, wenn wir kleine Details von einem Objekt beobachten möchten. Wir betrachten dazu die folgende Situation: Zwei Punkte eines Objekts, welches in einer Distanz d0 vor der Linse unseres Auges positioniert ist, haben einen Abstand h0 (siehe Abb. 1.8(a)). Die Netzhaut hat einen festen Abstand d1 von der Linse, dessen Brennweite wir mit f bezeichnen. Dabei gilt nach dem Abbildungsgesetz (1.7) folgender Zusammenhang

D.h. bringen wir Objekte näher an unser Auge und verkleinern damit d 0 , so vergrössert sich h1 und wir können Details eines Objekts besser erkennen. Da jedoch der Abstand d1 fest ist, müsste nach der Linsengleichung (1.9) auch die Brennweite f verkleinert werden, was nur bis zu einem gewissen Grad möglich ist. Das führt, wie zu Beginn erwähnt, dazu, dass nur bis zu einem minimalen Abstand d0 noch ein Bild auf unserer Netzhaut entstehen kann und wir nicht beliebig kleine Details eines Objekts scharf auflösen können. Um dieses Problem zu lösen, wurden Mikroskope entwickelt.


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Abb. 1.8: (a) Solange es für die Linse unseres Auges möglich ist ein Bild auf der Netzhaut zu erzeugen, können Details eines Objekts besser erkannt werden, wenn der Abstand zur Linse des Auges verkleinert wird. (b) Skizze eines Mikroskops aus zwei Linsen mit den Brennweiten f1 und f2 .


Ein Mikroskop besteht wie eine Teleskop aus zwei unterschiedlichen Linsen mit Brennweiten f1 und f2 (siehe Abb. 1.8(b)). Die Linsen werden dabei als Objektiv und Okular bezeichnet. Das Objekt wird nun in einem kleinen Abstand d0 vor dem Objektiv mit Brennweite f1 < d0 positioniert. Nach der Linsengleichung (1.9) entsteht dann ein Bild im Abstand

Für die Bildgrösse h1 gilt nach dem Abbildungsgesetz (1.7)

Diese Vergrösserung kann in manchen Fällen bereits ausreichen, um Details eines Objekts zu erkennen. Ein solches optisches Instrument mit nur einer Linse zur Vergrösserung von Objekten nennt man Lupe. Ein Mikroskop hat zusätzlich noch eine zweite Linse (Okular) mit Brennweite f2 , die in einem Abstand d2 < f2 vom Zwischenbild platziert ist. Das Bild entsteht nach der Linsengleichung (1.9) in einem Abstand

Da d2 < f2 ist daher d3 negativ, d.h. das Bild entsteht auf der linken Seite des Okulars. Es stellt sich nun die Frage, wie kann man sich das Zustandekommen dieses Bildes vorstellen. Wie immer, wenn die Gegenstandsweite (d2 ) kleiner ist als die Brennweite (f2 ), kreuzen sich Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl nach der Linse nicht und es sieht aus, als ob kein Bildpunkt entstehen würde. Jedoch hätten wir einen ähnlichen Strahlengang, wenn keine Linse da wäre und dafür der Gegenstand etwas weiter weg und grösser ist. Da das menschliche Auge und Gehirn automatisch von geraden, ungebrochenen Lichtstrahlen ausgeht, nimmt ein Beobachter genau einen solchen scheinbar existierenden Gegenstand wahr. Ein solches Bild nennt man virtuelles Bild (siehe Tab. 1.1). Für die Grösse h 2 des virtuellen Bilds gilt nach dem Abbildungsgesetz (1.7)

Somit bewirkt das Okular eine zusätzliche Vergrösserung des Objekts und sorgt zudem dafür, dass das Bild weit vom Auge entfernt ist. Dadurch wird es für das Auge möglich mit Hilfe eines Mikroskops kleine Details eines Objekts zu erkennen.

1.2 Wellenoptik

Innerhalb der geometrischen Optik haben wir uns mit dem Grenzfall beschäftigt, bei dem die Wellenlänge des Lichts viel kleiner ist als die Objekte mit denen es wechselwirkt und die Objekte eine grosse Masse aufweisen. In diesem Fall konnten wir Licht durch Strahlen beschreiben. Nun wechseln wir zu Experimenten, bei denen die Wellenlänge des Lichts von ähnlicher Grössenordnung ist wie die Objekte mit denen es wechselwirkt. Die Masse der Objekte sei weiterhin gross. In diesem Fall treten Interferenz- oder Beugungserscheinungen zu Tage, die wir nur durch die Beschreibung von Licht als Welle verstehen können. In diesem Abschnitt vertiefen wir das Verständnis der Welleneigenschaften des Lichts. Dabei betrachten wir Experimente, bei denen elektromagnetische Strahlung (z.B. sichtbares Licht) ausgehend von einer Quelle Q auf ein Beugungsobjekt (Hindernis) trifft und fragen uns was für eine Intensität wir in einem Beobachtungspunkt P hinter dem Beugungsobjekt messen werden (siehe Abb. 1.9).


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Abb. 1.9: Typischer Aufbau im Rahmen der Wellenoptik: Elektromagnetische Strahlung (z.B. sichtbares Licht) ausgehend von einer Quelle Q trifft auf ein Beugungsobjekt und wir fragen uns was für eine Intensität wir in einem Beobachtungspunkt P hinter dem Beugungsobjekt messen werden.


Als erstes besprechen wir die Kirchhoffsche Beugungstheorie. Anschliessend werden wir den Spezialfall Fraunhofer-Beugung beleuchten, bei dem sowohl Lichtquelle und Beobachtungspunkt weit vom Objekt entfernt sind. Weitere Themen sind das Prinzip von Huygens, die Begrenzung des Auflösungsvermögens optischer Instrumente durch Beugung, die Polarisation elektromagnetischer Strahlung und die Messung von Spektren.

1.2.1 Kirchhoffsche Beugungstheorie

Im Rahmen der Physik II Vorlesung wurde das Prinzip von Huygens eingeführt. Dieses besagt: Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront wird als Quelle einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst. Die Einhüllende dieser Elementarwellen ergibt dann die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt.

Mit diesem Prinzip konnte dann unter anderem auf anschauliche Art und Weise das Phänomen Beugung beschrieben werden. Dennoch wurde das fiktive Bild, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Quelle einer Elementarwelle aufgefasst werden kann, nur postuliert und nicht aus fundamentalen Prinzipien hergeleitet. Die Besprechung der Beugung nach Kirchhoff wird nun jedoch zeigen, dass die aus dem Prinzip von Huygens hergeleiteten Resultate auch aus der skalaren Wellengleichung folgen, was schlussendlich das Prinzip von Huygens im Nachhinein rechtfertigt.

Bevor wir mit der eigentlichen Beugungstheorie starten können, brauchen wir jedoch das nach dem Mathematiker Green benannte Greensche Theorem für Vektorfelder. Dieses folgt aus dem Satz von Gauss

wobei ⃗G (⃗r,t) ein Vektorfeld ist, ⃗∇ der Gradient, dV das Volumenelement und dS⃗= ⃗ndS das Flächenelement der Oberfläche S des Volumens V (⃗n entspricht dem Normalenvektor der Oberfläche S des Volumens V ). Da ⃗G(⃗r,t) beliebig ist, setzen wir ⃗G (⃗r,t) = ϕ(⃗r,t)∇⃗ψ(⃗r,t) und erhalten

wobei ϕ(⃗r,t) und ψ(⃗r,t) zwei beliebige skalare Funktionen sind. Ausmultiplizieren ergibt

wobei wir den Laplace-Operator Δ = ⃗∇2 eingeführt haben. Wiederholen wir dieselbe Rechnung für ⃗G(⃗r,t) = ψ(⃗r,t)∇⃗ϕ(⃗r,t) so erhalten wir

Bilden wir die Differenz von (1.34) und (1.35) so folgt das Greensche Theorem

Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass für jedes Funktionenpaar ϕ(⃗r,t) und ψ (⃗r,t) , das die Laplace-Gleichung Δ ϕ(⃗r,t) = 0 bzw. Δ ψ(⃗r,t) = 0 erfüllt, die linke Seite der Gleichung (1.36) verschwindet. Dies ist vor allem in der Elektrostatik von Interesse, da die Laplace-Gleichung der homogenen Poisson-Gleichung entspricht. Wie in der Einleitung erwähnt, interessieren uns hier jedoch Funktionen, die die skalare Wellengleichung erfüllen, d.h. Wellenfunktionen V (⃗r,t) , die folgende Gleichung lösen6

wobei n dem Brechungsindex und c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht. Wir wählen nun für die Wellenfunktion V (⃗r,t) den harmonischen Ansatz

Einsetzen in die Wellengleichung (1.37) ergibt

Daraus folgt die sogenannte skalare Helmholtz-Gleichung

Wir betrachten nun zwei skalare Funktionen U (⃗r) und V (⃗r) . Nach dem Kommutativgesetz gilt

Weiter nehmen wir an, dass U (⃗r) und V (⃗r) dem räumlichen Anteil von Wellenfunktionen entsprechen und demzufolge die skalare Helmholtz-Gleichung (1.40) erfüllen. Damit folgt

Mit dem Greenschen Theorem (1.36) erhalten wir somit das Greensche Theorem für Lösungen der skalaren Helmholtz-Gleichung

Wir wenden nun dieses Resultat auf kugelsymmetrischen Lösungen der skalaren Wellengleichung, d.h. auf Kugelwellen, an. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Herleitung der Gleichung (1.43) auf dem Satz von Gauss beruht, welcher für stetige Funktionen ohne Polstellen gültig ist. Das bedeutet, wenn wir hier das Integral über eine geschlossene Fläche bestimmen, wir uns zuvor versichern müssen, dass das von der Fläche eingeschlossene Volumen keine Polstellen der Wellenfunktionen enthält. Im Fall der Kugelwellen heisst das, dass sich die Zentren der Kugelwellen (Polstellen der Wellenfunktionen) nicht innerhalb des Integrationsvolumens befinden dürfen.

Wir betrachten nun eine in einem Punkt P(xP, yP,zP) einlaufenden Kugelwelle

Der räumliche Anteil V (r) , welcher die Helmholtz-Gleichung (1.40) erfüllt, lautet daher

Wie bereits erwähnt, besitzt diese Wellenfunktion einen Pol im Punkt P , bei dem V (r) → ∞ für r → 0 . Damit wir diese Wellenfunktionen in die Gleichung (1.43) einsetzen können, schliessen wir daher eine kleine kugelförmige Region mit Radius R um den Punkt P aus dem Integrationsvolumen aus (siehe Abb. 1.10).


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Abb. 1.10: Integrationsvolumen: Aufgrund der Polstelle der Wellenfunktion V (r) im Punkt P schliessen wir eine kleine Kugel mit Radius R um den Punkt P aus dem Integrationsvolumen aus. Die äussere Fläche hat im Allgemeinen eine beliebige Form.


Die gesamte Oberfläche unseres Integrationsvolumens setzt sich demzufolge aus einer äusseren Fläche S mit beliebiger Form und einer inneren kugelförmigen Fläche S′ zusammen. D.h. setzen wir nun die Wellenfunktion (1.45) in die Gleichung (1.43) ein, ergibt sich

Mit

erhalten wir

Für die Fläche S′ ist r = R , dS = R2d Ω und der Vektor ⃗r jeweils entgegengesetzt zum Normalenvektor ⃗n gerichtet. Daher ergibt sich für das Integral über S′ der Ausdruck

Uns interessiert jetzt die Situation, bei der die Kugel mit Radius R nur den einzelnen Punkt P umschliesst. D.h. wir betrachten den Grenzwert R → 0 . In diesem Fall vereinfacht sich die Integration über  ′ S zu

Einsetzen in (1.48) ergibt

Auflösen nach UP liefert schlussendlich das sogenannte KirchhoffscheIntegraltheorem

Es liefert einen Zusammenhang zwischen der Auslenkung der Welle im Punkt P und der Auslenkung der Welle auf einer beliebigen geschlossenen Fläche S um P .

Wir wenden nun das Kirchhoffsche Integraltheorem auf die Beugung an. D.h. wir betrachten das zu Beginn erwähnte Experiment, bei dem elektromagnetische Strahlung (z.B. sichtbares Licht) ausgehend von einer Quelle Q auf ein Beugungsobjekt trifft und fragen uns welche Auslenkung und Intensität wir in einem Beobachtungspunkt P hinter dem Beugungsobjekt feststellen werden (siehe Abb. 1.9). Als Beugungsobjekt betrachten wir im Folgenden einen ebenen lichtundurchlässiger Absorber mit einer kleinen lichtdurchlässigen Öffnung (Blende). Um das Kirchhoffsche Integraltheorem anwenden zu können, müssen wir zuerst eine Fläche S wählen, über die wir integrieren. Bei der Wahl der Fläche sind wir frei und können diejenige wählen, die am besten zu unserem Problem passt. Daher betrachten wir die in Abb. 1.11 im Schnitt dargestellte Fläche, welche sich aus drei unterschiedlichen Teilen zusammensetzt.


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Abb. 1.11: Aufteilung der Integrationsfläche S für die Beugung an einer Blende. Die Flächen S A und S B liegen in der Ebene z = 0 , wobei die Fläche SA die Blende darstellt und daher lichtdurchlässig ist und die Fläche SB dem lichtundurchlässigen Teil des Beugungsobjekts entspricht. Die Fläche SC , die unendlich weit entfernt vom Punkt P angenommen ist, schliesst die Integrationsfläche.


Die Flächen SA und SB liegen in der Ebene z = 0 , wobei die Fläche SA die Öffnung der Blende darstellt und daher lichtdurchlässig ist und die Fläche SB dem lichtundurchlässigen Teil der Blende entspricht. Das bedeutet, dass wir keinen Beitrag erhalten durch die Integration über die Fläche SB . Die Fläche SC , die unendlich weit entfernt vom Punkt P angenommen ist, schliesst die Integrationsfläche. Den Anteil der sich durch die Integration über die Fläche SC ergibt, können wir vernachlässigen, da die Fläche SC sehr weit vom Punkt P entfernt ist und daher das von links eintreffende Licht die Fläche SC nicht vor dem Punkt P erreicht. Mit dieser Festlegung der Fläche S können wir uns auf die Integration über die Fläche SA beschränken, d.h. für die Auslenkung UP im Beobachtungspunkt P gilt nach dem Kirchhoffschen Integraltheorem (1.52)

Wir nehmen nun an, dass die Quelle Q punktförmig ist und daher Kugelwellen aussendet, d.h. es gilt

Setzen wir den entsprechenden Ausdruck für U (q) in (1.53) ein, so erhalten wir

Wir führen an dieser Stelle eine erste Näherung ein, indem wir annehmen, dass die Abstände q und r der Punkte Q und P von der Öffnung viel grösser sind als die Wellenlänge λ des Lichts. Man spricht in diesem Fall von der Fernfeldnäherung. Damit gilt

und daher

Wir führen nun die Winkel ϑ0 und ϑ1 ein (siehe Abb. 1.12) und erhalten somit unter der Annahme q,r ≫ λ für die Auslenkung UP im Punkt P den Ausdruck

Dies ist die sogenannte Kirchhoff-Fresnel-Formel für die Beugung.


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Abb. 1.12: Festlegung der Winkel ϑ0 und ϑ1 .


Bevor wir zur Fraunhofer-Beugung kommen, führen wir noch eine weitere Näherung ein: Die uns interessierenden Beobachtungspunkte P liegen in mehr oder weniger direkter Verbindung zur Quelle Q (sonst ist P im Schatten und UP = 0 ) und daher gilt cosϑ1 ~ cosϑ0 . Es handelt sich in diesem Fall um eine Art paraxiale Näherung (siehe Abschnitt 1.1.3). Damit ergibt sich

Diese Formel entspricht genau dem Prinzip von Huygens: Die auf die Öffnung SA auftreffende Wellenfront pflanzt sich durch Aussendung von Kugelwellen fort, welche im Beobachtungspunkt P interferieren und dort die Auslenkung UP erzeugen. Damit haben wir, wie zu Beginn formuliert, das Prinzip von Huygens aus fundamentalen Prinzipien hergeleitet, was seine Gültigkeit im Nachhinein rechtfertigt.

Im folgenden Abschnitt gehen wir nun ausgehend von der Gleichung (1.59) etwas genauer auf den Grenzfall der Fraunhofer-Beugung ein.

1.2.2 Fraunhofer-Beugung

Wir wählen zur Besprechung der Fraunhofer-Beugung ein Beugungsobjekt mit rechteckiger Blende mit den Seitenlängen a und b (siehe Abb. 1.13) an dem die elektromagnetische Strahlung gebeugt wird. Zudem legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Fläche S A .


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Abb. 1.13: Fraunhofer-Beugung an einer rechteckigen Blende mit den Seitenlängen a und b . Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir dabei in den Mittelpunkt der Fläche S A .


In der Wellenoptik betrachten wir meist Situationen in denen die Wellenlänge λ des Lichts von ähnlicher Grössenordnung ist wie die Beugungsobjekte mit denen es wechselwirkt, d.h. es gilt λ ~ a,b . Da wir für die Herleitung der Gleichung (1.59) die Fernfeldnäherung (q,r ≫ λ ) angenommen haben, gilt somit auch q,r ≫ a,b . Daher können wir die Faktoren 1∕(qr) und cos ϑ 1 durch 1∕(q0r0) bzw. cosϑ ersetzen, wobei q0 und r0 die Abstände der Punkte Q und P vom Mittelpunkt der Fläche SA bezeichnen und ϑ den Winkel zwischen der Verbindungslinie von Punkt P zum Mittelpunkt der Fläche SA und der Flächennormalen ⃗n . Damit vereinfacht sich Gleichung (1.59) zu

Für die Summe q + r im Exponenten ist dieselbe Näherung jedoch nicht zulässig, da der Faktor  ik(q+r) e bereits bei einer Änderung von q + r um eine Wellenlänge λ den Einheitskreis in der komplexen Ebene einmal überstreicht. Wir können aber die beiden Abstände q und r im Exponenten um die Werte q0 bzw r0 entwickeln. Aufgrund unserer Wahl des Koordinatensystems ergibt sich7

Wir gehen nun sogar noch einen Schritt weiter und vernachlässigen auch die quadratischen Terme. Einsetzen in die Gleichung (1.60) ergibt

wobei

Diese Näherung, bei der wir nur noch lineare Terme im Exponenten berücksichtigen, entspricht der sogenannten Fraunhofer-Näherung. Aber was genau bedeutet nun diese Näherung? Betrachten wir die Gleichung (1.64) so erkennen wir, dass sowohl die von der Quelle Q ausgehenden Kugelwellen als auch die von der Fläche SA ausgehenden Kugelwellen durch ebene Wellen ersetzt werden. D.h. die Terme, welche aufgrund der Krümmung der Wellenfronten entstehen, werden vernachlässigt. Diese Näherung ist gerechtfertigt, wenn der Abstand zwischen Quelle und Beugungsobjekt, sowie zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungspunkt sehr viel grösser ist als die Dimensionen der Blende. Als Alternative kann jedoch auch die Punktquelle im Brennpunkt einer Sammellinse positioniert werden und der Beobachtungspunkt im Brennpunkt einer zweiten Sammellinse (siehe Abb. 1.14). Dann haben wir sowohl bei der Quelle als auch beim Beobachtungspunkt Kugelwellen und beim Beugungsobjekt ebene Wellen vorliegen und die Fraunhofer-Näherung entspricht der exakten Lösung.


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Abb. 1.14: Wird die Punktquelle im Brennpunkt einer Sammellinse positioniert und der Beobachtungspunkt im Brennpunkt einer zweiten Sammellinse, dann entspricht die Fraunhofer-Näherung der exakten Lösung.


Wir kommen zurück zu unserer Berechnung der Auslenkung UP im Punkt P hinter einer rechteckigen Blende. Als nächstes führen wir das Integral über y in Gleichung (1.64) separat aus

Analog ergibt sich für das Integral über x in Gleichung (1.64)

Damit ergibt sich für die Auslenkung UP im Punkt P in grossem Abstand hinter einer rechteckigen Blende

Für die Intensität  2 IP ∝ |UP| im Punkt P ergibt sich demzufolge

wobei I0 die maximale Intensität ist (siehe Abb. 1.15(a)).


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Abb. 1.15: (a) Intensitätsverteilung für die Beugung an einer rechteckigen Blende als Funktion von βx und βy . (b) Normierte Intensität IP∕I0 für die Beugung am Einzelspalt als Funktion von β .


Die Intensitätsverteilung IP∕I0 für die Beugung am Einzelspalt erhalten wir, indem wir βy = 0 setzen

Wir gehen nun kurz auf einige charakteristische Eigenschaften dieser Intensitätsverteilung für den Einzelspalt ein (siehe Abb. 1.15(b)):

  • Das Hauptmaximum tritt für β = 0 auf. Die Intensität IP nimmt dort den Wert I 0 an.
  • Die Minima treten bei den Nullstellen von sin β auf, d.h. wenn β ein ganzzahliges Vielfaches von π ist.
  • Die Nebenmaxima folgen aus der Bedingung

    Daraus ergibt sich folgende transzendente Gleichung, die z.B. graphisch gelöst werden kann

  • Für die relativen Positionen der Minima und Maxima gilt: Das Hauptmaximum befindet sich genau in der Mitte von zwei Minima gleicher Ordnung. Hingegen beobachtet man, dass die Nebenmaxima nicht genau in der Mitte zwischen den benachbarten Minima zu liegen kommen. Die numerische Lösung der transzendenten Gleichung (1.73) ergibt jedoch, dass mit zunehmendem β die Nebenmaxima immer näher in die Mitte rücken: Für das erste Nebenmaximum erhält man β = 1.43π statt 1.5π für die Mitte, beim zweiten 2.46π statt 2.5π , beim dritten 3.47π statt 3.5π , usw..

Bisher haben wir von Fraunhofer-Beugung gesprochen, wenn wir im Bereich des Beugungsobjekts von ebenen Wellen ausgehen können oder mathematisch ausgedrückt wenn wir nur lineare Terme im Exponenten berücksichtigen müssen. Eine allgemeinere Formulierung der Bedingung für Fraunhofer-Beugung ist die Folgende: Fraunhofer-Beugung wird in der Bildebene eines Objekts beobachtet (siehe Abschnitt 1.1.2). In diesem Fall wird die Beugung durch Beugungsobjekte verursacht, die sich zwischen dem Objekt und der Bildebene befinden.

Diese Definition macht klar, dass die Fraunhofer-Beugung vor allem im Zusammenhang mit Abbildungsinstrumenten von Bedeutung ist. Oder anders formuliert, überall wo wir etwas abbilden, sollten wir beachten, dass jedes Beugungsobjekt zwischen Objekt und Bild, das den Weg des Lichts einschränkt, Fraunhofer-Beugung hervorruft. Dies ist eine der Hauptursachen für das begrenzte Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten.

Betrachten wir unsere allgemeinere Definition noch ein wenig genauer. Irgendwie scheint sie nicht ganz im Einklang zu stehen mit der bisherigen Beschreibung der Fraunhofer-Beugung. Was ist z.B. wenn sich das Beugungsobjekt zwischen Objekt und Bild an einem Ort befindet, bei dem die Wellenfronten stark gekrümmt sind, würde das nicht unsere Näherungen verletzen? Die Antwort ist nein, wie folgendes Gedankenexperiment zeigt (siehe Abb. 1.16): Eine Punktquelle wird durch eine Sammellinse abgebildet. Dazwischen befindet sich ein Beugungsobjekt. Vor dem Beugungsobjekt ist eine Streulinse mit Brennweite - f platziert und nach dem Beugungsobjekt eine Sammellinse mit Brennweite + f . Die erste Linse macht die einfallenden Wellenfronten eben und die zweite Linse bringt sie zurück in die ursprüngliche Form. Nähern sich nun diese Linsen, dann bewirken diese in der paraxialen Näherung (siehe Abschnitt 1.1.3) ausschliesslich, dass beim Beugungsobjekt ebene Wellen vorliegen, ansonsten haben sie keinen Effekt. Somit wird insbesondere klar, dass die Voraussetzung, dass ebene Wellen beim Beugungsobjekt vorliegen, nicht zwingend ist für die Fraunhofer-Beugung.


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Abb. 1.16: Illustration des Gedankenexperiments zur allgemeinen Definition der Fraunhofer-Beugung.


Bisher haben wir die Beugung an einer rechteckigen Blende betrachtet und dabei für die Auslenkung UP im Beobachtungspunkt P die Gleichung (1.64) erhalten

Wir verallgemeinern nun zum Abschluss der Fraunhofer-Beugung diese Gleichung auf beliebig geformte Blenden. Dies kann durch das Hinzufügen der sogenannten Transmissionsfunktionf (x, y) erreicht werden

f(x,y ) nimmt den Wert 1 an, wenn der Punkt (x∕y) transparent ist und 0 wenn der Punkt (x∕y) lichtundurchlässig ist. Im Fall unserer rechteckigen Blende gilt z.B.

Durch hinzufügen dieser Funktion f(x,y) ist es sogar möglich Blenden zu berücksichtigen, die nur einen Teil des Lichts durchlassen, indem f (x,y) = p mit 0 < p < 1 gesetzt wird. Zudem können auch Blenden erfasst werden, die eine Phasenverschiebung bewirken. In diesem Fall ist f(x,y) eine komplexe Zahl. Die Gleichung (1.75) ist die Fourier-Transformierte der Transmissionsfunktion f(x,y ) , d.h. die Intensitätsverteilung bei der Fraunhofer-Beugung ergibt sich aus der Fourier-Transformierten der Transmissionsfunktion f(x,y) . Als weiteres Beispiel dazu besprechen wir im folgenden Abschnitt die Beugung am Doppelspalt.

Beugung am Doppelspalt

Ein Doppelspalt besteht aus zwei Einzelspalten der Breite b mit Abstand a (siehe Abb. 1.17).


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Abb. 1.17: Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt: Die Breite eines Einzelspalts wird mit b und der Abstand zwischen den Einzelspalten mit a bezeichnet.


Für die Transmissionsfunktion f (y) gilt

wobei

Einsetzen in die Gleichung (1.75) ergibt für die Auslenkung UP der elektromagnetischen Welle im Beobachtungspunkt P

wobei

Für die Intensität  2 IP ∝ |UP| im Punkt P ergibt sich demzufolge

wobei I 0 die maximale Intensität ist. Wir gehen nun kurz auf einige charakteristische Eigenschaften dieser Intensitätsverteilung für den Doppelspalt ein (siehe Abb. 1.18):

  • Wir führen als erstes die beiden Begriffe Spalt- und Strukturfaktor ein. Dazu schreiben wir die Intensität IP in der Form

    wobei F = sin β∕β als Spaltfaktor und G = cosφ als Strukturfaktor bezeichnet werden. Die Quadrate der beiden Grössen heissen Spaltfunktion bzw. Strukturfunktion. Die Strukturfunktion G2 hängt nur vom Abstand a der Einzelspalte und nicht von ihrer Breite b ab. Betrachtet man nur die Grösse I0 ⋅G2 ohne die Spaltfunktion F 2 dann entspricht dieser Ausdruck der Intensitätsverteilung, falls von den beiden Einzelspalten nur jeweils eine Elementarwelle ausgehen würde. Dies ist der Fall beim sogenannten YoungschenDoppelspaltversuch. Bei einem Doppelspalt mit endlichen Breiten b treten auch Interferenzen zwischen den Elementarwellen eines Einzelspalts auf. Diese werden durch die Spaltfunktion F2 berücksichtigt.

  • Doppelspaltmaxima treten unter der Bedingung φ = mπ (m ∈ ℤ) auf. Fallen jedoch ein Doppelspaltmaxima und ein Einzelspaltminima zusammen, dann wird das entsprechende Maximum unterdrückt. Für die Einzelspaltminima gilt nach den Ausführungen zum Einzelspalt β = nπ (n ∈ ℤ ) . Mit (1.80) und (1.81) ergibt sich daher als Bedingung für fehlende Beugungsmaxima

    Da m und n ganzzahlig sind, kommt es somit zur Auslöschung von Doppelspaltmaxima für rationale Verhältnisse von Einzelspaltbreite b und Einzelspaltabstand a . In unserem Beispiel in Abb. 1.18 (a = 5b ) werden somit die Ordnungen m = ±5 , ± 10 , ± 15 , ... unterdrückt.

    Falls nun b = a ist gilt nach (1.84) m = n und es werden somit bis auf m = 0 alle Doppelspaltmaxima unterdrückt. Dies ist so zu verstehen, dass für b = a die beiden Einzelspalte der Breite b zu einem Einzelspalt der Breite 2b vereinigt werden und nur das Beugungsbild eines Einzelspalts beobachtbar ist.

  • Doppelspaltminima treten unter der Bedingung φ = (2m+21)π (m ∈ ℤ ) auf.


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Abb. 1.18: Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt: Die normierte Intensität IP∕I0 als Funktion von β gezeichnet für a = 5d , d.h. φ = 5β .


1.2.3 Prinzip von Huygens

In Abschnitt 1.1.1 haben wir das Brechungsgesetz von Snellius mit Hilfe des Fermatschen Prinzip hergeleitet. Alternativ ist auch eine Herleitung des Brechungsgesetzes mittels dem Prinzip von Huygens möglich (siehe Physik II Vorlesung). Wie wir im Abschnitt 1.2.1 gesehen haben, entspricht die angenäherte Kirchhoff-Fresnel-Formel (1.59) für die Beugung dem Prinzip von Huygens: Der q -Term entspricht den einfallenden Wellen und bestimmt die Phasen der Huygens-Punktquellen. Die r -Terme sind die Beiträge zur Welle im Punkt P von all diesen Quellen und wenn wir über alle diese Quellen integrieren, so führen wir genau das aus, was Huygens in seinem Prinzip formuliert hat.

Um dies noch besser zu illustrieren, leiten wir anhand unserem Integral-Formalismus das Brechungsgesetz von Snellius her. Dazu betrachten wir den Fall, bei dem die Fläche SA zwei Gebiete trennt, die unterschiedliche Brechungsindizes n1 und n2 aufweisen. Die entsprechenden Wellenzahlen lauten dann k1 = ωn1∕c und k2 = ωn2 ∕c . Wir verwenden nun die Fraunhofer-Näherung. Damit ergibt sich für die Auslenkung UP im Punkt P die Gleichung (1.64) mit dem einzigen Unterschied, dass wir anstelle der Wellenzahl k die Wellenzahlen k1 bzw. k2 einzusetzen haben

wobei

Analog zu den Ausführungen im Abschnitt 1.2.2 erhalten wir

wobei

Das Brechungsgesetz von Snellius ist ein Gesetz der geometrischen Optik. Wir gehen daher zum Grenzfall a,b ≫ λ über. Der Wellencharakter des Lichts tritt dann in den Hintergrund und es interessiert uns in diesem Fall die Bedingung für die Position des Hauptmaximums. Diese lautet βx = βy = 0 und daher  ′ ′ X = Y = 0 . Daraus folgt

Führen wir den Einfallswinkel ϑi und den Ausfallswinkel ϑt ein (siehe Abb. 1.19), so ergibt sich mit k1 = ωn1 ∕c und k2 = ωn2∕c in Übereinstimmung mit (1.6) das Brechungsgesetz von Snellius


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Abb. 1.19: Definition des Einfallswinkels ϑi und des Ausfallswinkels ϑt für das Brechungsgesetz von Snellius.


1.3 Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten

Unter dem Auflösungsvermögen eines optischen Instruments versteht man den kleinsten Abstand zweier Objekte, so dass diese noch als zwei Objekte wahrgenommen werden können. Die Hauptursache für das begrenzte Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten sind Beugungseffekte (siehe Abschnitt 1.2.2). In einem ersten Teil dieses Abschnitts befassen wir uns nun mit der Frage, wie Beugungseffekte das Auflösungsvermögen eines Teleskops begrenzen.

Wir betrachten zwei Lichtquellen, z.B. zwei Sterne, deren Licht auf eine Öffnung trifft, z.B. auf diejenige eines Teleskops. Das Licht beider Quellen wird dann gebeugt und verursacht je eine Intensitätsverteilung ähnlich zu derjenigen beschrieben durch die Gleichung (1.70). Diese Intensitätsverteilung wird durch eine CCD-Kamera oder direkt durch unser Auge aufgenommen. Sind diese beiden Lichtquellen sehr nahe beieinander, dann werden sich die beiden Intensitätsverteilungen überschneiden und wir können die beiden Objekte nicht mehr als getrennt wahrnehmen. Bis zu welchem Abstand wir die Objekte einzeln auflösen können hängt davon ab, wie empfindlich unsere Kamera oder unser Auge auf Änderungen in der Intensität reagiert. Das bekannte Kriterium für das Auflösungsvermögen eines optischen Instruments stammt von Rayleigh und lautet: Zwei Objekte können gerade noch als getrennt wahrgenommen werden, wenn das Hauptmaximum der Intensitätsverteilung, die vom ersten Objekt stammt, mit dem ersten Minimum der Intensitätsverteilung, die vom zweiten Objekt stammt, zusammenfällt.

Um dieses Kriterium in Form einer Gleichung anzugeben, gehen wir genauer auf das Beispiel der Beobachtung von zwei Sternen mit einem Teleskop ein. Wir nehmen dabei an, dass das Auflösungsvermögen alleine durch die Beugung am Rand der ersten Linse (Frontlinse) des Teleskops begrenzt ist. Bevor wir auf das Auflösungsvermögen eingehen, betrachten wir daher zunächst die Beugung an einer Lochblende.

Beugung an einer Lochblende

Den Radius der Lochblende bezeichnen wir mit R (siehe Abb. 1.20).


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Abb. 1.20: Beugung an einer Lochblende. Zur Berechnung der Intensität IP im Beobachtungspunkt P wird von den kartesischen Koordinaten x (x′ ) und y (y′ ) zu den Polarkoordinaten ρ (ρP ) und φ (φP ) gewechselt. Die Einführung des Winkels ϑ dient zur Angabe des Rayleigh-Kriteriums in Form einer Gleichung.


Die entsprechende Transmissionfunktion f(r,φ ) lautet

Einsetzen in die Gleichung (1.75) ergibt für die Auslenkung U P der elektromagnetischen Welle im Beobachtungspunkt P

wobei wir von den kartesischen Koordinaten x und y zu Polarkoordinaten ρ und φ gewechselt haben. Da die im Beispiel betrachteten Lichtquellen (Sterne) sehr weit von der Lochblende (Teleskop) entfernt sind, gilt q0 ≫ r0 und damit

wobei wir wiederum von kartesischen Koordinaten xP und yP zu Polarkoordinaten ρP und φP gewechselt haben. Somit ergibt sich

Da unsere Anordnung achsensymmetrisch ist, muss die Lösung schlussendlich unabhängig von φP sein. Wir dürfen daher φP ≡ - π setzen und erhalten8

Um dieses Integral zu lösen, führen wir die sogenannten Besselfunktionen erster ArtJn(x) ein

Insbesondere gilt

und damit

Für Besselfunktionen gilt zudem die Differentialgleichung

Daraus ergibt sich für n = 1

Mit Hilfe der Substitution w = kρρP∕r0 und Gleichung (1.104) ergibt sich für die Auslenkung UP im Beobachtungspunkt P

Für die Intensität  2 IP ∝ |UP| im Punkt P erhalten wir demzufolge

wobei I0 die maximale Intensität ist und der Faktor 2 daher kommt, dass J1(x)∕x = 1∕2 für x = 0 . Betrachten wir diese Intensitätsverteilung etwas genauer so erkennen wir, dass das zentrale Hauptmaximum als heller Fleck erscheint (siehe Abb. 1.21). Diesen Fleck nennt man die Airy-Scheibe. Dieser mittlere helle Fleck ist umgeben von einem dunklen Ring, der zur ersten Nullstelle der Besselfunktion J (β) 1 gehört. Diese befindet sich bei β = kR ρ ∕r = 3.83 P 0 . Wir können den Radius ρP dieses dunklen Rings als Radius ρA der Airy-Scheibe interpretieren. Er beträgt demzufolge

Wir können die Grösse der Airy-Scheibe auch durch Angabe des entsprechenden Winkel ϑ A ausdrücken (siehe Abb. 1.20). Da ρ ∕r = sinϑ ~ ϑ P 0 gilt

wobei wir verwendet haben, dass k = 2π ∕λ und wir den Durchmesser D = 2R , der Lochblende eingeführt haben9 .


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Abb. 1.21: (a) Intensitätsverteilung für die Beugung an einer Lochblende als Funktion von βx = β cosφP und βy = βsinφP . (b) Normierte Intensität IP∕I0 für die Beugung an einer Lochblende als Funktion von β .


Nachdem wir die Beugung an einer Lochblende verstanden haben, sind wir in der Lage das Auflösungsvermögen eines Teleskops anzugeben.

Das Auflösungsvermögen eines Teleskops

Betrachten wir mit dem Teleskop zwei Sterne, so nehmen wir aufgrund der Beugung an der Frontlinse für jeden Stern eine Intensitätsverteilung wahr, die derjenigen in Abb. 1.21 entspricht. Sei nun der Winkelabstand Δ φ den beiden Sternen ausreichend gross, erscheinen die beiden Beugungsbilder vollständig voneinander getrennt, d.h. wir nehmen die beiden Sterne einzeln wahr. Wird Δ φ jedoch kleiner, so kommen auch die beiden Beugungsbilder näher zusammen, überlagern sich und werden schlussendlich zu einem einzigen Bild. Nach dem Rayleigh-Kriterium können nun die beiden Sterne gerade noch als getrennt wahrgenommen werden, wenn der Mittelpunkt der Airy-Scheibe des Beugungsbilds des ersten Sterns mit dem ersten dunklen Ring des Beugungsbilds des zweiten Sterns übereinander liegen. D.h. der minimale noch auflösbare Winkelabstand Δ φmin entspricht ϑA und somit gilt nach (1.108)

Betrachten wir diese Formel für das Auflösungsvermögen eines Teleskops, so wird klar, dass ein grosser Durchmesser D der Frontlinse von grossem Vorteil ist. Dies ist auch der Grund, wieso in der Astronomie verwendete Teleskope sehr gross sind. Andererseits ist es schwierig die Position von Niederfrequenzquellen aufzulösen, da tiefere Frequenzen eine höhere Wellenlänge λ bedeuten.

An dieser Stelle sei bemerkt, dass wir bei der Betrachtung des Auflösungsvermögens angenommen haben, dass das Licht der beiden Sterne nicht interferiert. Das hat uns erlaubt die Überlagerung der beiden Intensitätsverteilungen zu betrachten, ohne dabei Phasenunterschiede, zwischen den eintreffenden Wellen zu berücksichtigen. In dem betrachteten Fall ist dies eine gute Näherung, da es sehr unwahrscheinlich ist, dass das Licht der beiden Sterne gleiche Polarisation und stabile Phasen zueinander hat. Beleuchten wir jedoch zur Untersuchung von Objekten diese mit einer einzigen Lichtquelle, so müssten wir die Interferenz des Lichts der verschiedenen Objekte berücksichtigen.

Das nächste Ziel ist nun ausgehend von diesen Betrachtungen beim Teleskop das Auflösungsvermögen eines Mikroskops zu bestimmen.

Das Auflösungsvermögen eines Mikroskops

Wir nehmen analog zum Teleskop an, dass das Auflösungsvermögens alleine durch die Beugung am Objektiv begrenzt ist (siehe Abb. 1.8). Die Öffnung sei wiederum kreisförmig mit Durchmesser D und wir können von Gleichung (1.109) ausgehen. Mit der Annahme, dass der Abstand des Gegenstands zum Objektiv etwa der Brennweite f entspricht und der kleinste noch auflösbare Winkel Δ φmin sehr klein ist, ergibt sich daher für den kleinsten noch auflösbaren Abstand Δxmin zweier Punkte eines Objekts

Bezeichnen wir den halben Öffnungswinkel des Objektivs mit α , dann gilt näherungsweise

und somit

Um das Auflösungsvermögen zu vergrössern, wird bei Mikroskopen oft eine Immersionsflüssigkeit wie Wasser oder Öl zwischen das Objektiv und den Gegenstand gegeben, d.h. anstelle von Luft mit Brechungsindex n = 1 führen wir unsere Untersuchungen in einer Flüssigkeit mit Brechungsindex n > 1 durch. Daher müssen wir in unserer Formel für den kleinsten noch auflösbaren Abstand Δx min den Brechungsindex n dieser Immersionsflüssigkeit hinzufügen

Führen wir noch die numerische AperturN A = nsinα ein, so erhalten wir schlussendlich für den kleinsten mit einem Mikroskop noch auflösbaren Abstand Δxmin den Ausdruck

Dieses Auflösungsvermögen wird nach Ernst Abbe, der diese Beziehung im 19. Jahrhundert aufstellte, auch Abbe-Auflösungsvermögen genannt.

Wird z.B. bei einem Mikroskop mit Öffnungswinkel α = 53o als Immersionsflüssigkeit Öl mit Brechungsindex n = 1.5 verwendet, so ergibt sich für den kleinsten noch auflösbaren Abstand

D.h. in diesem Fall können Details, die kleiner sind als eine halbe Wellenlänge nicht mehr erkannt werden.

1.4 Polarisation

Bisher haben wir Licht einfachheitshalber durch eine skalare Wellenfunktion beschrieben. Dabei haben wir ausser Acht gelassen, dass Licht eigentlich einer elektromagnetischen Welle entspricht und somit durch elektrische und magnetische Feldstärkevektoren, die senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung orientiert sind, zu beschreiben ist. Solange sich Licht im freien Raum ausbreitet, gibt es keine ausgezeichnete Richtung, mit der die Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldstärkevektoren verglichen werden könnte und diese Vereinfachung ist gerechtfertigt. Trifft jedoch Licht unter einem bestimmten Winkel auf eine Fläche, dann legt die Fläche eine ausgezeichnete Richtung fest und wir müssen die Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldstärkevektoren beachten. Die Schwingungsrichtung des elektrischen Feldstärkevektors bezeichnet man dabei als Polarisation der elektromagnetischen Welle bzw. als Polarisation des Lichts. Im Folgenden gehen wir auf die verschiedenen Polarisationsarten ein, besprechen doppelbrechende Materialien und betrachten den Übergang von Licht zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes, welcher durch die sogenannten Fresnel-Gleichungen beschrieben werden kann.

1.4.1 Polarisationsarten

Zur Besprechung der verschiedenen Polarisationsarten nehmen wir an, dass sich das Licht entlang der z -Achse ausbreitet. Der elektrische Feldstärkevektor E⃗(⃗r,t) , der senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, befindet sich daher in der xy -Ebene und wir können schreiben

wobei ⃗ex und ⃗ey die Einheitsvektoren und Ex und Ey die Amplituden in x - bzw. y -Richtung bezeichnen und α den Phasenunterschied zwischen den beiden Amplituden.

Der einfachste Fall ergibt sich, wenn der Phasenunterschied α = 0 ist. Dann zeigt der elektrische Feldstärkevektor immer entlang derselben Richtung. Man spricht dann von linearer Polarisation.

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich bei identischen Amplituden Ex = Ey ≡ E0 und einem Phasenunterschied von α = ±iπ∕2 . In diesem Fall gilt

und der elektrische Feldstärkevektor ⃗ E(z,t) rotiert mit der Frequenz ω im Gegen- bzw. im Uhrzeigersinn um die z -Achse. Der Betrag des Feldstärkevektors bleibt dabei konstant. Man spricht in diesem Fall von links bzw. rechts zirkularerPolarisation.

Im allgemeinen Fall, bei dem die Amplituden Ex und Ey unterschiedlichen Betrag und einen beliebigen Phasenunterschied α aufweisen, bewegt sich der elektrische Feldstärkevektor ⃗E (z,t) während der Ausbreitung der Welle auf einer Ellipse. Man spricht in diesem Fall von elliptischer Polarisation. Es sei bemerkt, dass die beiden Hauptachsen der Ellipse dabei aber nicht zwingend entlang der x - und y -Richtung liegen müssen. In Abb. 1.22 sind die verschiedenen Polarisationsarten graphisch dargestellt.


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Abb. 1.22: Amplitude und Phase des elektrischen Feldstärkevektors dargestellt in der xy -Ebene für verschiedene Werte von Ex , Ey und α : Für (Ex,Ey, α) = (1,2,0) erhalten wir lineare Polarisation (blaue grobgestrichelte Linie), für (Ex, Ey,α ) = (1,1,π∕2) erhalten wir zirkulare Polarisation (rote feingestrichelte Linie) und für (Ex,Ey,α ) = (1,2,π∕4) erhalten wir elliptische Polarisation (schwarze Linie).


1.4.2 Doppelbrechende Materialien

Es gibt viele Materialien, die nicht isotrop sind im Bezug auf optische Wechselwirkungen. Der Grund dafür ist, dass Atome in einem Material normalerweise nicht isotrop verteilt sind - die Atomschichten haben unterschiedliche Abstände in unterschiedliche Raumrichtungen. Eine Folge davon ist z.B. dass die Lichtgeschwindigkeit in einem Material sich als Funktion der Polarisation des Lichts ändern kann. Eine spezielle Klasse von anisotropen Materialien, sogenannte doppelbrechende Materialien, betrachten wir nun etwas genauer. Diese haben die Eigenschaft, dass sie zwei senkrecht zueinander stehende Achsen mit unterschiedlichem Brechungsindex besitzen. Das bedeutet, dass wenn das Licht entlang der einen dieser beiden Achsen polarisiert ist, es sich mit einer anderen Geschwindigkeit ausbreitet, als wenn es entlang der anderen Achse polarisiert ist. Wir legen nun die x - und y -Achse entlang dieser ausgezeichneten Achsen und bezeichnen die entsprechenden Brechungsindizes mit nx und ny (Ausbreitungsrichtung ist weiterhin entlang der z -Achse). Dann ergibt sich im allgemeinen Fall für den elektrischen Feldstärkevektor ⃗E(z,t) bei einer Eindringtiefe z ins Material zur Zeit t den Ausdruck

wobei kx = nxk , ky = nyk und k den Betrag des Wellenvektors im Vakuum bezeichnet. Da sich in diesem Fall der Phasenunterschied zwischen den beiden Komponenten mit der Zeit ändert, kann auch die Polarisation des Lichts mit der Zeit wechseln.

Fertigen wir z.B. eine Platte der Dicke L an, sodass (n - n )kL = π x y , dann hat diese die Eigenschaft, dass sie die Polarisationsrichtung von linear polarisiertem Licht um einen wählbaren Winkel drehen kann. Der Rotationswinkel hängt dabei vom Winkel zwischen den ausgezeichneten Achsen und der ursprünglichen Polarisationsrichtung ab. Ein solches Objekt nennt man λ∕2 -Plättchen.

Eine Platte der Dicke L mit der Eigenschaft (nx - ny )kL = π∕2 heisst λ∕4 -Plättchen. Diese kann linear polarisiertes Licht in zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht oder zirkular in linear polarisiertes Licht umwandeln. Je nach Zweck, der ein λ∕4 -Plättchen erfüllen soll, muss wiederum der Winkel zwischen den ausgezeichneten Achsen und der ursprünglichen Polarisationsrichtung eingestellt werden. Zum Beispiel ergibt sich für linear entlang der schnellen Achse polarisiertes Licht keine Änderung in der Polarisation. Wenn jedoch der Winkel zwischen der schnellen Achse10 und der ursprünglichen Polarisationsrichtung  o 45 beträgt, dann bewirkt das λ∕4 -Plättchen eine Änderung von linear zu zirkular polarisiertem Licht.

1.4.3 Fresnel-Gleichungen

Wir diskutieren die Frage, wie polarisiertes Licht erzeugt werden kann. Betrachten wir das Licht, das von Atomen ausgesendet wird, so ist dieses meistens polarisiert, aber nur bezüglich der unmittelbaren Umgebung des Atoms. Viele Atome zusammen senden daher oft Licht einer zufälligen Polarisation aus, wie z.B. die Atome einer Gaslampe. In der Natur finden wir typischerweise polarisiertes Licht, wenn dieses an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes reflektiert wird. Dies kann z.B. an der Grenzfläche zwischen Luft und Wasser auftreten, da Luft und Wasser sehr unterschiedliche Brechungsindizes aufweisen. Von Vorteil in solchen Umgebungen sind daher sogenannte polarisierte Sonnenbrillen. In diesem Abschnitt werden wir nun ausgehend von den Maxwell-Gleichungen diesen Übergang von polarisiertem Licht zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes genauer untersuchen. Der Einfachheit halber beschränken wir uns dabei auf ebene Wellen.

Die Maxwell-Gleichungen in Materie ohne freie Ladungen und Ströme lauten (siehe Physik II Vorlesung)

wobei für die elektrische Feldstärke ⃗E , die elektrische Flussdichte ⃗D , die magnetische Feldstärke  ⃗ H und die magnetische Flussdichte ⃗ B die folgenden Zusammenhänge gelten ⃗ ⃗ D = ϵϵ0E und ⃗ ⃗ B = μ μ0H . Wenden wir die Rotation auf beiden Seiten von Gleichung (1.121) an, so erhalten wir

Mit der mathematischen Identität ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∇ × (∇ × E ) = ∇ (∇ ⋅E )- Δ E für Vektorfelder und den Maxwell-Gleichungen (1.119) und (1.122) erhalten wir

Mit der Lichtgeschwindigkeit c = 1∕√ ϵ0μ0- im Vakuum und dem Brechungsindex  √ --- n = ϵμ des Mediums ergibt sich für die elektrische Feldstärke ⃗ E folgende Wellengleichung

Eine mögliche Lösung dieser Wellengleichung ist

Die entsprechende magnetische Flussdichte ⃗ B (⃗r,t) erhalten wir durch Einsetzen in (1.121) und Integration über t . Es ergibt sich

Zudem gilt nach (1.119) und (1.120) ⃗k ⋅E⃗(⃗r,t) = 0 und ⃗k ⋅ ⃗B (⃗r,t) = 0 , d.h. die Vektoren ⃗E (⃗r,t) , ⃗B(⃗r,t) und ⃗k sind wie zu Beginn dieses Abschnitts erwähnt paarweise orthogonal zueinander.

Als nächstes bestimmen wir die Randbedingungen für das elektrische und magnetische Feld und die elektrische und magnetische Flussdichte an der Grenzfläche zweier Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes. Als erstes gehen wir auf das Grenzverhalten der magnetischen Flussdichte ⃗B ein. Dazu legen wir ein Quader der Fläche A und Höhe h um einen beliebigen Punkt der Grenzfläche G (siehe Abb. 1.23(a)). Der Satz von Gauss liefert dann zusammen mit der Maxwell-Gleichung (1.120) für h → 0

wobei V das Volumen und S die Oberfläche des Quaders bezeichnen. Somit gilt für die magnetische Flussdichte B⃗ die Randbedingung

d.h. beim Übergang an einer Grenzfläche G ist die Normalkomponente B⃗⊥G der magnetischen Flussdichte stetig. Analog lässt sich zeigen, dass auch die Normalkomponente ⃗D⊥G der elektrischen Flussdichte beim Übergang an einer Grenzfläche stetig ist.


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Abb. 1.23: (a) Quader der Fläche A und Höhe h um einen beliebigen Punkt der Grenzfläche G . (b) Schlaufe der Höhe h und Länge a um einen beliebigen Punkt der Grenzfläche G .


Um das Verhalten der magnetischen Feldstärke ⃗ H zu untersuchen, legen wir eine Schlaufe der Höhe h und Länge a um einen beliebigen Punkt der Grenzfläche G (siehe Abb. 1.23(b)). Der Satz von Stokes liefert dann für h → 0

wobei S die Fläche und ∂S den Rand der Schlaufe bezeichnen. Somit gilt für die magnetische Feldstärke ⃗H die Randbedingung

d.h. beim Übergang an einer Grenzfläche G ist die Parallelkomponente ⃗ H∥G der magnetischen Feldstärke stetig. Analog lässt sich zeigen, dass auch die Parallelkomponente ⃗E∥G der elektrischen Feldstärke beim Übergang an einer Grenzfläche stetig ist.

Wir verwenden nun diese Randbedingungen um den Übergang von polarisiertem Licht zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes zu untersuchen. Dabei wählen wir das Koordinatensystem so, dass der Wellenvektor ⃗k in der xz -Ebene liegt, die Normale der Grenzfläche zwischen den beiden Materialien durch die z -Achse gegeben ist und die Grenzfläche der xy -Ebene entspricht (siehe Abb. 1.24). Die Einfallsebene, die durch die Normale auf der Grenzfläche und den Wellenvektor der einfallenden Welle definiert ist, entspricht demzufolge der xz -Ebene.


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Abb. 1.24: Wahl des Koordinatensystems zur Untersuchung des Übergangs von polarisiertem Licht zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n2 > n1 .


Die elektrische Feldstärke der einfallenden, reflektierten und transmittierten ebenen Welle sind dann gegeben durch

mit

wobei n1 und n2 die Brechungsindizes der Materialien 1 und 2 sind, ϑi der Einfallswinkel, ϑr der Reflexionswinkel, ϑt der Transmissionswinkel und ⃗Ei0 , E⃗r0 , ⃗Et0 die Amplituden der einfallenden, reflektierten und transmittierten Wellen.

Wir haben dabei angenommen, dass sich die Frequenz bei der Reflexion und Transmission nicht ändert und die Wellenvektoren der reflektierten und transmittierten Welle in der Einfallsebene liegen. Diese Annahmen lassen sich durch die Betrachtung der Randbedingung für die elektrische Feldstärke rechtfertigen: Die Parallelkomponente der elektrischen Feldstärke beim Übergang an einer Grenzfläche ist stetig

Für den Koordinatenursprung (x,y,z) = (0,0,0 ) gilt dann

wobei ωi , ωr und ωt die Kreisfrequenz der einfallenden, reflektierten und transmittierten Welle sind. Diese Gleichung hat für beliebige Zeiten t nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn ωi = ωr = ωt ≡ ω . D.h. bei der Reflexion und Transmission ändert sich die Frequenz nicht. Betrachten wir die Randbedingung (1.138) für z = 0 und t = 0 , so ergibt sich

Diese Gleichung muss für alle x und y erfüllt sein. Folglich gilt für alle x und y

und somit für x = 0 , dass k = k = 0 ry ty ist. Das bedeutet, dass die Wellenvektoren der reflektierten und transmittierten Welle in der Einfallsebene liegen. Zudem erhalten wir

Mit (1.135), (1.136) und (1.137) erhalten wir daraus das Reflexionsgesetz ϑi = ϑr und das Brechungsgesetz von Snellius n1sinϑi = n2sinϑt . Diese beiden Gesetze sind uns bereits bekannt, d.h. wir haben noch keine neue Informationen erhalten im Vergleich zur Beschreibung des Lichts durch eine skalare Wellenfunktion.

Unser Ziel ist es nun das Verhältnis der Amplituden der reflektierten und transmittierten Welle zur Amplitude der einfallenden Welle zu bestimmen. Wir beschränken uns dabei auf die Situation, bei der die elektrische Feldstärke parallel zur Einfallsebene ist (siehe Abb. 1.24).11 In diesem Fall spricht man von parallel polarisiertem Licht. Die Randbedingung für die elektrische Feldstärke lautet dann (siehe (1.138))

wobei wir das Reflexionsgesetz ϑi = ϑr verwendet haben. Auflösen nach Et ergibt

Nach (1.131) ist wie bei der elektrischen Feldstärke auch die Parallelkomponente der magnetischen Feldstärke beim Übergang an einer Grenzfläche stetig. In unserem Fall ist die magnetische Feldstärke parallel zur Grenzfläche und daher gilt

Mit B = μμ0H und der Annahme, dass μ1 ~ μ2 gilt daher auch

Zudem erhalten wir mit (1.127)

und daher

Einsetzen von (1.144) für die Amplitude der transmittierten Welle ergibt

Als nächstes bringen wir alle Ausdrücke mit Ei auf die eine Seite und alle Ausdrücke mit Er auf die andere Seite und erhalten

Damit ergibt sich schlussendlich für das Verhältnis der Amplitude Er der reflektierten Welle zur Amplitude E i der einfallenden Welle das folgende Resultat

Analog erhalten wir sich für das Verhältnis der Amplitude E t der transmittierten Welle zur Amplitude Ei der einfallenden Welle

Diese beiden Gleichungen sind unter dem Namen Fresnel-Gleichungen bekannt. Wir gehen nun noch etwas genauer auf die Reflexion ein und formen dazu die Gleichung (1.151) mit Hilfe des Brechungsgesetzes von Snellius (1.6) und den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen um

Betrachten wir diesen Ausdruck, so erkennen wir, dass für tan(ϑi + ϑt) → ∞ das Verhältnis Er∕Ei gegen null geht und somit kein Licht reflektiert wird. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn ϑi + ϑt = π∕2 . Einsetzen ins Brechungsgesetz von Snellius (1.6) ergibt

Somit erhalten wir für den Einfallswinkel ϑ iB , bei dem kein Licht reflektiert wird, folgende Bedingung

Dieser ausgezeichnete Winkel ϑiB heisst Brewster-Winkel. Es ist wichtig zu bemerken, dass ein solcher Winkel nur in dem von uns betrachteten Fall, bei dem das einfallende Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert ist, auftritt. Ist das einfallende Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisiert, tritt dieses Phänomen nicht auf. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft. Fällt z.B. unpolarisiertes Licht unter dem Brewster-Winkel auf eine Grenzfläche zwischen zwei Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes, so wird nur der Anteil reflektiert, der senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. In anderen Worten: Aufgrund des Phänomens des Brewster-Winkels ergibt sich eine Methode zur Erzeugung von linear polarisiertem Licht aus einer unpolarisierten Lichtquelle.

1.5 Messung von Spektren

Bisher haben wir unsere Betrachtungen auf die Ausbreitung von monochromatischem Licht beschränkt, d.h. Licht hatte bisher eine einzige Farbe und entsprach damit einer elektromagnetischen Welle mit einer genau definierten Frequenz (Wellenlänge). Natürliche Lichtquellen senden jedoch Licht aus, das aus verschiedenen Farben zusammengesetzt ist und somit eine Überlagerung von mehreren elektromagnetischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellt. Dabei ist es so, dass die auftretenden Frequenzen je nach Lichtquelle unterschiedlich sind oder genauer gesagt: Die Intensität des Lichts in Abhängigkeit der Frequenz, das sogenannte Spektrum, ist für jede Lichtquelle einzigartig. Das bedeutet, dass durch die Analyse des Spektrums einer Lichtquelle Rückschlüsse auf die Natur der Lichtquelle gezogen werden können. Solche Untersuchungen, insbesondere die Analyse des Spektrums des Wasserstoffatoms, lieferten einen grossen Teil der experimentellen Resultate, auf deren Basis die Quantenmechanik entwickelt wurde (siehe Kapitel 8). Bevor jedoch ein Spektrum analysiert werden kann, muss es gemessen werden. Diesem Thema, der Messung von Spektren, ist dieser Abschnitt gewidmet. Dabei spielen zwei Effekte eine wichtige Rolle. Der eine ist unter dem Namen Dispersion bekannt. Darunter versteht man, dass sich Licht unterschiedlicher Frequenzen in den meisten Materialien mit einer unterschiedlichen Geschwindigkeit ausbreitet, d.h. der Brechungsindex ist eine Funktion der Frequenz. Der zweite Effekt ist die bereits diskutierte Beugung: Wir haben in Abschnitt 1.2.2 gesehen, dass in vielen Ausdrücken zur Beschreibung von Beugung und Interferenzmustern die Wellenlänge eine wichtige Rolle spielt, d.h. das Interferenzmuster von der Frequenz abhängen. Im Folgenden diskutieren wir eine Reihe von Aufbauten mit denen optische Spektren aufgenommen werden können.

1.5.1 Das Prisma

Ein einfaches Instrument zur Aufnahme von Spektren ist das Prisma. Es bewirkt eine räumliche Trennung der unterschiedlichen Frequenzen (Farben) des Lichts einer Lichtquelle. Die Funktionsweise beruht auf dem Brechungsgesetz von Snellius und der Tatsache, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in einem Material je nach Frequenz unterschiedlich ist (Dispersion). Trifft z.B. Licht vom Vakuum auf ein Material mit Brechungsindex n , so gilt nach dem Brechungsgesetz von Snellius (1.6) für den Transmissionswinkel

Da nun der Brechungsindex n(f) eine Funktion der Frequenz f ist, ändert sich auch der Transmissionswinkel ϑt als Funktion der Frequenz. Dies erklärt wie ein Prisma unterschiedliche Frequenzen (Farben) des Lichts einer Lichtquelle räumlich trennt. Moderne Prismen verwenden Materialien wie SiO2 (Quarz), ZnSe (Zinkselenid) oder NaCl (Kochsalz). Gegenüber anderen Messinstrumenten haben Prismen den Vorteil, dass typischerweise das gesamte Spektrum sichtbar wird, jedoch ist die Trennung von nahe beieinander liegenden Frequenzen (Farben) nur beschränkt möglich. Dies liegt darin begründet, dass Brechungsindizes von Materialien im sichtbaren Bereich nur sehr wenig variieren und somit der Transmissionswinkel für nahe beieinander liegende Frequenzen (Farben) sehr ähnlich ist. Zum Beispiel beträgt der Unterschied im Brechungsindex zwischen blauem (λ = 470 nm, f = 630 THz) und rotem Licht (λ = 700 nm, f = 430 THz) bei Kronglas (Mischung aus verschiedenen Elementen mit dem Hauptanteil Quarz) etwa 2%. Da Prsimen in der modernen Physik eher selten eingesetzt werden, beschäftigen wir uns intensiver mit heute weiter verbreiteten Messinstrumenten für Spektren.

1.5.2 Das Gitterspektrometer

Das Gitterspektrometer ist ein Messinstrument, welches heutzutage in der Chemie und der Physik häufig zum Einsatz kommt. Das Hauptelement ist ein Reflexionsgitter, welches frequenzabhängig Licht reflektiert. Um ein solches Objekt zu produzieren, ist es üblich nichtreflektierende Streifen auf eine reflektierende Metalloberfläche zu ritzen. Die Funktionsweise eines Reflexionsgitters ist im Wesentlichen dieselbe wie die eines Transmissionsgitters, d.h. bei einem Gitter mit periodisch angeordneten Öffnungen.

Bevor wir genauer auf die Physik eingehen, betrachten wir einen typischen Aufbau eines Gitterspektrometers mit dessen Hilfe das Licht einer unbekannten Quelle untersucht werden kann (siehe Abb. 1.25): Das Licht der Quelle wird mit Hilfe einer Linse auf einen Spalt fokussiert. Dieser Spalt reduziert die ausgedehnte Lichtquelle auf eine Punktquelle. Eine weitere Linse im Abstand von einer Brennweite vom Spalt sorgt dafür, dass paralleles Licht unter einem Einfallswinkel ϑi auf das Reflexionsgitter trifft. Das Licht wird am Gitter reflektiert und das Licht, das das Gitter unter einem Ausfallswinkel ϑj verlässt, wird mit Hilfe einer weiteren Linse auf einen einzelnen Punkt fokussiert, wo sich der Detektor (z.B. eine CCD-Kamera) befindet. Diese letzte Linse bildet zusammen mit dem Detektor eine bewegliche Einheit, mit der es möglich ist die Intensität in Abhängigkeit des Orts zu messen.


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Abb. 1.25: Aufbau eines Gitterspektrometers: Das Licht der Lichtquelle wird mit Hilfe einer Linse auf einen Spalt fokussiert. Eine weitere Linse nach dem Spalt sorgt dafür, dass paralleles Licht auf das Reflexionsgitter trifft. Dieses wird dort reflektiert und schlussendlich von einem Detektor (z.B. einer CCD-Kamera) registriert. Die Referenzquelle liefert Licht bekannter Frequenzen, das ein Spektrum hervorruft, welches über demjenigen der unbekannten Lichtquelle zu liegen kommt und der Analyse des unbekannten Spektrums dient.


Wir betrachten nun die Reflexion am Gitter mit Abstand d zwischen zwei reflektierenden Streifen etwas genauer (siehe Abb. 1.26). Der Phasenunterschied Δϕ zwischen Lichtstrahlen, die unter einem Winkel ϑi auf das Gitter einfallen und unter einem Winkel ϑj reflektiert werden und von zwei benachbarten Streifen stammen, beträgt

Besitzt das Gitter N reflektierende Streifen im Abstand d , dann gilt für die Auslenkung UP im Beobachtungspunkt P (Detektor)

Für die Intensität IP ∝ |UP |2 im Punkt P ergibt sich demzufolge12

Wir gehen hier kurz auf die wichtigsten Eigenschaften dieser Intensitätsverteilung ein. Das Hauptmaximum in der Mitte des Musters ergibt sich unter der Bedingung ϑi = ϑj . Dies ist die gewöhnliche Reflexion und liefert keine spektralen Informationen. Nebenmaxima ergeben sich wenn der Nenner und der Zähler null werden, d.h. wenn Δ ϕ∕2 = pπ, p ∈ ℤ . Das zu einem Maximum benachbarte Minimum tritt bei der benachbarten Nullstelle des Zählers auf, d.h. wenn N Δ ϕ∕2 = (pN + 1)π, p ∈ ℤ .


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Abb. 1.26: Verlauf des Lichts bei der Reflexion an einem Gitter mit reflektierenden Streifen im Abstand d . Der Einfallswinkel ϑi entspricht dabei aufgrund der Interferenz nicht zwingend dem Ausfallswinkel ϑj .


Wie zu Beginn angedeutet hängt auch diese Intensität für die Reflexion an einem Gitter von der Wellenlänge ab. Dies zeigt sich auch in den aufgeführten Bedingungen für Maxima und Minima. Das bedeutet, dass bei der Analyse einer unbekannten Lichtquelle mit einem Gitterspektrometer mehrere gegeneinander verschobene Muster zu erkennen sind und jede dieser Muster entspricht einer unterschiedlichen Wellenlänge. Dies ist genau die Art und Weise wie mit einem Gitterspektrometer ein Spektrum einer Lichtquelle gemessen wird. Hier stellt sich nun die Frage, wie gross das maximale Auflösungsvermögen eines Gitterspektrometers ist. Im Abschnitt 1.3 haben wir von einem räumlichen Auflösungsvermögen gesprochen. Damit war der kleinste Abstand zweier Objekte gemeint, so dass diese noch als zwei Objekte wahrgenommen werden können. Hier sprechen wir von einem spektralen Auflösungsvermögen, d.h. von der kleinsten Differenz zweier Wellenlängen, so dass die entsprechenden Farben noch als getrennt wahrgenommen werden können. Analog zum Rayleigh-Kriterium (siehe Abschnitt 1.3) ergibt sich für das spektrale Auflösungsvermögen folgendes Kriterium: Zwei Wellenlängen (Farben) können gerade noch als getrennt wahrgenommen (aufgelöst) werden, wenn die Maxima der Intensitätsverteilung, die der ersten Wellenlänge (Farbe) entspricht, mit den zu den Maxima benachbarten Minima der Intensitätsverteilung, die der zweiten Wellenlänge (Farbe) entspricht, zusammenfallen.

Mathematisch ausgedrückt, bedeutet dies für das Gitterspektrometer

Subtrahieren wir diese beiden Ausdrücke, so erhalten wir

Einsetzen von (1.157) liefert

Somit ergibt sich für die Differenz Δλ der beiden Wellenlängen λ1 und λ2 unter der Annahme λ ~ λ1,λ2

Der maximale Wert den (sin ϑ - sinϑ ) j i annehmen kann ist 2. Daher ergibt sich für das Auflösungsvermögen Δ λmin bzw. Δfmin eines Gitterspektrometers13

An dieser Formel erkennen wir, dass das Auflösungsvermögen eines Gitterspektrometers umgekehrt proportional zur Gesamtlänge N d des Gitters ist. Dies gilt nicht nur für das Gitterspektrometer, sondern allgemein für spektroskopische Messinstrumente: Das Auflösungsvermögen ist umgekehrt proportional zum maximalen Wegunterschied, den zwei Lichtstrahlen haben können, die unterschiedliche Teile der Apparatur passieren. Insbesondere treffen wir dieses Resultat in den beiden nächsten Abschnitten im Zusammenhang mit der Besprechung des Michelson- und des Fabry-Pérot-Interferometers wieder an.

In vielen Anwendungen des Gitterspektrometers wird eine Anordnung gewählt, so dass nur eine einzige Ordnung des Gitters verwendet wird oder experimentell ausgedrückt, nur ein kleiner Winkelbereich um einen gegebenen Winkel, der Gleichung (1.160) erfüllt, wird verwendet. In diesem Fall ergibt sich mit Gleichung (1.164) für das Auflösungsvermögen Δλmin eines Gitterspektrometers

An dieser Stelle sei bemerkt, dass oft nicht Δ λmin sondern der Kehrwert 1∕Δ λmin als Auflösungsvermögen bezeichnet wird, da der Kehrwert ansteigt, wenn die Möglichkeit näher beieinander liegende Wellenlängen aufzulösen, zunimmt.

1.5.3 Das Michelson-Interferometer

Das Michelson-Interferometer ist eines der klassischen Messinstrumente in der Optik. Ursprünglich wurde es vom Nobelpreisträger Albert Abraham Michelson entwickelt um die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichts auf der Erde wegen deren relativen Bewegung zum sogenannten Äther nachzuweisen14 . Heute wird diese Messanordnung immer noch eingesetzt. Am LIGO (Laser Interferometer Gravitationswellen Observatorium) werden damit z.B. Experimente zum Test der allgemeinen Relativitätstheorie durchgeführt.

Wir gehen nun auf den Aufbau eines Michelson-Interferometers ein (siehe Abb. 1.27). Eine Quelle sendet eine Lichtwelle aus, welche auf einen Strahlenteiler trifft, der diese in zwei Lichtwellen aufteilt. Eine dieser Lichtwellen breitet sich dann nach rechts aus und die andere nach oben. Am Ende der sogenannten Arme des Michelson-Interferometers befinden sich je ein Spiegel S1 und S2 an denen die beiden Lichtwellen dann reflektiert werden und sich wieder Richtung Strahlenteiler ausbreiten. Dort interferieren sie und ein Teil der wieder vereinten Lichtwelle trifft auf den Detektor.


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Abb. 1.27: Aufbau eines Michelson-Interferometers: Die elektromagnetische Strahlung einer Lichtquelle wird durch einen Strahlenteiler in zwei Teile aufgeteilt. Die Teilwellen reflektieren an den Spiegeln S 1 bzw. S 2 und treffen beim Strahlenteiler wieder aufeinander. Ein Teil der wieder vereinten Lichtwelle trifft auf den Detektor.


Bezeichnen wir die Längen der beiden Arme des Michelson-Interferometers mit d1 und d2 , dann beträgt der Phasenunterschied Δ ϕ der beiden Lichtwellen, wenn sie beim Strahlenteiler interferieren15

wobei der Grund für den Faktor 2 ist, dass die Lichtwellen die Strecken d 1 bzw. d 2 zweimal zurücklegen. Für die Auslenkung UP der elektromagnetischen Welle im Beobachtungspunkt P (Detektor) ergibt sich dann

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wobei r den Weg bezeichnet, den die Teilwelle, die den Arm 1 wählt, insgesamt zurücklegt. Demzufolge erhalten wir für die Intensität IP ∝ |UP |2 im Punkt P

und somit

wobei I0 die Intensität bei Phasenunterschied Δϕ = 0 bezeichnet.

Gleichung (1.170) entspricht der Intensität für eine monochromatische Lichtquelle. Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt jedoch mit natürlichen Lichtquellen, die Licht aussenden, das eine Überlagerung von mehreren elektromagnetischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellt und verfolgen das Ziel das Spektrum solcher Lichtquellen zu bestimmen. Im Folgenden gehen wir darauf ein, wie wir eine solche Messung mit einem Michelson-Interferometer durchführen können.

Wenn wir den Detektor für genügend lange Zeit öffnen, können wir Interferenz zwischen den einzelnen Wellen mit unterschiedlicher Frequenz ausschliessen. Führen wir den Längenunterschied x = d2 - d1 der beiden Arme des Michelson-Interferometers ein, so ergibt sich für den Phasenunterschied Δ ϕ = 2kx = 4πf x∕c und wir erhalten für die Intensität IP beim Detektor in Abhängigkeit des Längenunterschieds x

wobei I(f) die Intensität der Lichtquelle pro Frequenzintervall df um die Frequenz f bezeichnet und somit nichts anderes als das gesuchte Spektrum der Lichtquelle darstellt. Betrachten wir den Ausdruck in Gleichung (1.171) etwas genauer, so erkennen wir, dass der erste Term eine Konstante darstellt unabhängig von x und der zweite Term die Kosinus-Transformierte16 des Spektrums I(f) . Nehmen wir an das Spektrum I(f ) sei symmetrisch um eine zentrale Frequenz f0 , dann können wir die Kosinus-Transformation umkehren und erhalten

wobei xmax den maximalen Längenunterschied zwischen den beiden Armen des Michelson-Interferometers bezeichnet. Somit kann das Spektrum I(f ) einer Lichtquelle mit Hilfe eines Michelson-Interferometers bestimmt werden, in dem die Intensität IP(x) in Abhängigkeit des Längenunterschieds x gemessen wird und vom Ausdruck 2IP(x)- I0 die Kosinus-Transformierte bestimmt wird.

Wie beim Gitterspektrometer stellen wir uns nun auch hier die Frage, wie gross ist das spektrale Auflösungsvermögen eines Michelson-Interferometers. Zur Beantwortung dieser Frage, betrachten wir eine monochromatische Lichtquelle mit Frequenz f0 . Beim Detektor des Michelson-Interferometers wird dann nach Gleichung (1.170) die Intensitätsverteilung

registriert. Da wir weiterhin von natürlichen Lichtquellen ausgehen, so wird auch diese monochromatische Lichtquelle nicht nur Lichtwellen der Frequenz f 0 aussenden, sondern Lichtwellen in einem schmalen Frequenzband nahe bei f0 . Um die genaue Intensitätsverteilung der Lichtquelle zu bestimmen, wenden wir auf dieses Signal die Kosinus-Transformation nach Gleichung (1.172) an und erhalten

Da wie erwähnt alle Frequenzen f nahe bei der Frequenz f 0 liegen, gilt f - f0 ≪ f + f0 und wir können den zweiten gegenüber dem ersten Term vernachlässigen

Der Abstand zwischen dem Hauptmaximum und dem benachbarten Minimum beträgt

was analog zu den Ausführungen beim Gitterspektrometer dem spektralen Auflösungsvermögen des Michelson-Interferometers entspricht.

Das bedeutet, dass zwei Frequenzen gerade noch als getrennt wahrgenommen werden können, wenn ihre Differenz c∕4xmax ist. Da der maximale Wegunterschied zwischen zwei Lichtstrahlen, die jeweils einen Arm des Michelson-Interferometers passieren 2xmax beträgt, gilt auch hier wie bei allen optischen Messinstrumenten, dass das Auflösungsvermögen umgekehrt proportional zum maximalen Wegunterschied ist, den zwei Lichtstrahlen haben können, die unterschiedliche Teile einer Apparatur passieren. Da es einfacher ist einen Spiegel über grössere Distanzen zu verschieben als ein sehr grosses Gitter zu bauen, wird das Michelson-Interferometer gegenüber dem Gitterspektrometer zur Messung eines Spektrums häufig bevorzugt.

1.5.4 Das Fabry-Pérot-Interferometer

Das Fabry-Pérot-Interferometer ist heutzutage wahrscheinlich das am häufigsten verwendete optische Messinstrument. Der Grund dafür ist, dass es nicht nur zur Messung eines Spektrums eingesetzt werden kann, sondern auch eine der wichtigsten Komponenten eines Lasers darstellt. Der Aufbau eines Fabry-Pérot-Interferometers ist relativ einfach. Es besteht aus zwei parallelen teildurchlässigen Spiegeln, die in einem Abstand d voneinander entfernt aufgestellt werden (siehe Abb. 1.28). Ein von links eintreffender Lichtstrahl wird dann mehrfach zwischen den beiden Spiegeln hin und her reflektiert und alle diese Teilwellen werden miteinander interferieren. Man spricht daher bei dieser Anordnung auch von einem optischenResonator. Damit kann ein grosser (maximaler) Wegunterschied zwischen zwei Lichtstrahlen erreicht werden, was nach unseren Ausführungen zum Gitterspektrometer und zum Michelson-Interferometer bedeutet, dass wir mit einem Fabry-Pérot-Interferometer ein grosses Auflösungsvermögen erreichen können.


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Abb. 1.28: Schematischer Aufbau eines Fabry-Pérot-Interferometers: Zwei parallele Spiegel mit Transmissionskoeffizient t und Reflexionskoeffizient  iϕr re sind in einem Abstand d voneinander aufgestellt.


Wir gehen nun genauer auf die Funktionsweise des Fabry-Pérot-Interferometers ein. Dabei beschränken wir uns auf den Spezialfall, bei dem die beiden Spiegel aus demselben Material sind, keine Absorption auftritt und der Einfallswinkel, der von links einfallenden Lichtwelle null ist. Beträgt die Amplitude der einfallenden Lichtwelle A 0 , dann wird diese beim Eintritt in den optischen Resonator um den Transmissionskoeffizient t reduziert17 . Demzufolge hat die Amplitude bei z = 0 den Wert A0t . In der Folge breitet sich die Lichtwelle über die Länge d des optischen Resonators aus und reflektiert am zweiten Spiegel. Bei der Reflexion ändert sich dann die Amplitude um den Faktor reiϕr , wobei r der reelle Reflexionskoeffizient ist und ϕr die Phasenverschiebung bei der Reflexion. Anschliessend breitet sich die Lichtwelle wieder zurück zum ersten Spiegel aus und wird dort reflektiert. Diese Lichtwelle breitet sich dann parallel zur einfallenden Welle aus und interferiert mit dieser. Die Amplituden dieser beiden Wellen addieren sich dann zu einer gesamten Amplitude18

Jeder der folgenden Durchgänge liefert dann einen zusätzlichen Beitrag zu dieser Amplitude, so dass schlussendlich eine Gesamtamplitude

resultiert. Dient das Fabry-Pérot-Interferometer zur Messung eines Spektrums, dann untersuchen wir die Intensität des Lichts, das den optischen Resonator auf der rechten Seite verlässt. Die Amplitude At dieser transmittierten Lichtwelle ergibt sich durch Multiplikation von (1.178) mit teikd . Mit diesem Faktor berücksichtigen wir einerseits, dass das Licht zusätzlich die Strecke d zurücklegen muss und andererseits die Transmission durch den rechten Spiegel. Damit erhalten wir für das Verhältnis von transmittierter zu einfallender Lichtintensität

Wie zu Beginn erwähnt, nehmen wir an, dass das Licht bei den Spiegeln nicht absorbiert wird. Daher gilt t2 = 1- r2 . Führen wir zusätzlich die Konstanten R ≡ r2 und T = (1- R ) ≡ t2 ein, welche den Anteil der Intensität, der bei den Spiegeln reflektiert bzw. transmittiert wird, bezeichnen, dann vereinfacht sich der Ausdruck zu

Wir untersuchen nun dieses Resultat etwas genauer, indem wir das Verhältnis von transmittierter zu einfallender Lichtintensität  2 2 |At|∕|A0| als Funktion von Δ ϕ für verschiedene Werte von R zeichnen (siehe Abb. 1.29). Wir erkennen regelmässig angeordnete Resonanzen bei Δϕ = 2πm , m ∈ ℤ , deren Breiten mit zunehmendem R abnehmen. Da k = 2πf∕c gilt mit (1.177)

und wir können jedem Δ ϕ und damit auch jeder Resonanz eine Frequenz f zuordnen. Das Ziel ist es nun mit Hilfe dieses Zusammenhangs die Breite und den Abstand der Resonanzen durch die Frequenz auszudrücken.

Es seien Δ ϕ1 und Δ ϕ2 die Phasen zweier benachbarter Resonanzen und f1 und f2 die entsprechenden Frequenzen dann gilt aufgrund der Resonanzbedingung Δ ϕ = 2πm , m ∈ ℤ

Demzufolge ergibt sich für den Frequenzabstand Δf zweier benachbarter Resonanzen, den sogenannten freien Spektralbereich (FSR),


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Abb. 1.29: Verhältnis von transmittierter zu einfallender Lichtintensität  2 2 |At| ∕|A0 | für ein Fabry-Pérot-Interferometer als Funktion von Δϕ für R = 0.9 (schwarze Linie), R = 0.7 (blaue grobgestrichelte Linie) und R = 0.6 (rote feingestrichelte Linie).


Wir bezeichenen nun die Phase bei den Resonanzen mit Δϕm = 2πm , m ∈ ℤ . Dann ist das Verhältnis von transmittierter zu einfallender Lichtintensität bei Δ ϕm + Δ ϕ1∕2 auf die Hälfte gesunken ist, wobei Δ ϕ1∕2 folgende Bedingung erfüllt (siehe Gleichung (1.180))

Daraus folgt

und damit ergibt sich für die Halbwertsbreite δ einer Resonanz ausgedrückt in der Phase

wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass R typischerweise nahe bei 1 liegt und daher das Argument des Arkussinus klein ist. Mit Hilfe von (1.182) ergibt sich daraus die Halbwertsbreite δf ausgedrückt in der Frequenz

wobei F die sogenannte Finesse bezeichnet. Diese gibt demzufolge das Verhältnis des Abstands Δf von zwei benachbarten Resonanzen zur Halbwertsbreite δf der Resonanzen an. Eine hohe Finesse bedeutet somit sehr schmale Resonanzen.

Als nächstes gehen wir nun darauf ein wie mit einem Fabry-Pérot-Interferometer Messungen durchgeführt werden können. Damit soll auch ein besseres Verständnis der hergeleiteten Resultate erlangt werden. Eine mögliche Art der Messung besteht darin die emittierte Lichtintensität in Abhängigkeit des Abstands d der beiden Spiegel zu bestimmen. Diese Methode wird eher selten verwendet, da es eine grosse Herausforderung darstellt, dass bei diesem Scanvorgang kein Licht den optischen Resonator unerwünscht verlässt. Alternativ wird daher häufig anstelle des Abstands der Druck des Gases zwischen den beiden Spiegeln verändert. Dadurch ändert sich der Brechungsindex und demzufolge die optische Weglänge. Eine weitere Messmethode besteht darin, die emittierte Lichtintensität in Abhängigkeit des Austrittswinkels ϑ des Lichts zu bestimmen. Die Phasenverschiebung Δ ϕ (siehe Gleichung (1.177)) beträgt dann (siehe Abb. 1.30)


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Abb. 1.30: Illustration der Berechnung des Wegunterschieds für parallele Lichtstrahlen, die ein Fabry-Pérot-Interferometer passieren. Der reflektierte Lichtstrahl legt zwischen den beiden Spiegeln gegenüber dem nicht abgelenkten Lichtstrahl einen zusätzlichen Weg 2d∕ cosϑ zurück. Ausserhalb der Spiegel benötigt der nicht abgelenkte Lichtstrahl einen zusätzlichen Weg 2d tanϑ sin ϑ .


Unabhängig von der Messmethode ergeben sich entsprechend unseren Berechnungen für die emittierte Lichtintensität in Abhängigkeit der veränderbaren Grösse ein Muster wie in Abb. 1.29. Da wir hier von Lichtquellen ausgehen, die Licht unterschiedlicher Frequenzen aussendet, werden sich diese einzelnen frequenzabhängigen Muster überlagern. Für das spektrale Auflösungsvermögen eines Fabry-Pérot-Interferometers sind dabei die zuvor bestimmten Grössen, der freie Spektralbereich Δf und die Halbwertsbreite δf , entscheidend. In der Praxis existieren heute optische Resonatoren mit einer Finesse F > 250000 . Dazu sind Materialien mit R = 0.999987 notwendig. Bei einem solchen optischen Resonator wird das Licht etwa 250000 mal an beiden Spiegeln reflektiert, d.h. bei einem Abstand von 10 cm zwischen den Spiegeln entspricht dies einer Strecke von 50 km. Dieser Typ von Fabry-Pérot-Interferometer, das aus Glas gefertigt wird, welches sich bei Temperaturänderungen stark ausdehnt oder zusammenzieht, wird bei Lasern zur Stabilisation der Frequenz eingesetzt. Diese kommen in Atomuhren oder im Bereich der Quanteninformationsverarbeitung zum Einsatz.

Zum Abschluss dieses Abschnitts sei noch erwähnt, dass wie bereits angedeutet Messungen mit dem Fabry-Pérot-Interferometer relativ heikel sind und es daher oft in Verbindung mit einem anderen Messinstrument wie z.B. einem Gitterspektrometer verwendet wird. Dabei wird mit Hilfe des Gitterspektrometers der Bereich des Spektrums ausgewählt, der beobachtet werden möchte und das Fabry-Pérot-Interferometer liefert dann die Details. Ein möglicher Aufbau eines solchen Experiments ist in Abb. 1.31 skizziert.


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Abb. 1.31: Aufbau eines Experiments mit einem Fabry-Pérot-Interferometer kombiniert mit einem Gitterspektrometer.


1.6 Zusammenfassung

  • Licht ist eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Untersuchung der Natur. Ein typischer experimenteller Aufbau besteht dabei aus einer Lichtquelle, die Licht der Wellenlänge λ isotrop in alle Richtungen des Raumes aussendet. Dahinter folgt eine Sammellinse, so dass das Licht, das anschliessend auf das zu untersuchende Objekt mit Ausdehnung d und Masse m trifft, in guter Näherung als ebene elektromagnetische Welle beschrieben werden kann. Nach der Wechselwirkung mit dem Objekt wird das Licht mit einem Detektor aufgefangen und die Intensität I der detektierten Strahlung als Funktion des Ortes dargestellt. Je nachdem unter welchen Bedingungen Experimente mit Licht durchgeführt werden, kommen andere Eigenschaften des Lichts zum Vorschein und ein geeignetes Modell muss zur Beschreibung der Eigenschaften des Lichts herangezogen werden.
  • Ist die Wellenlänge λ des Lichts viel kleiner als die Ausdehnung d der Objekte mit denen es wechselwirkt und besitzen die Objekte eine grosse Masse m , so befinden wir uns im Bereich der geometrischen Optik, in dem wir Licht als geometrische Strahlen beschreiben können.

    Die Grundlage der geometrischen Optik bildet das Fermatsche Prinzip, das besagt, dass das Licht von einem Punkt zu einem anderen den Weg wählt, für den die benötigte Zeit minimal ist. Mit Hilfe dieses Prinzips kann z.B. das Reflexionsgesetz oder das Brechungsgesetz von Snellius hergeleitet werden.

    Eines der wichtigsten optischen Elemente ist die Linse. Darunter versteht man speziell geformte transparente Körper, die in optischen Instrumenten verwendet werden um Gegenstände abzubilden. Sie werden gemäss ihren Abbildungseigenschaften in Sammellinsen (konvexe Linsen) und Streulinsen (konkave Linsen) unterteilt. Das vom Menschen am häufigsten eingesetzte optische Instrument ist das Auge. Es dient oft als Inspiration beim Design von anderen optischen Instrumenten. Das Auge hat jedoch auch seine Einschränkungen, was u.a. zur Entwicklung des Teleskops und des Mikroskops führte.

  • In der Wellenoptik betrachtet man Experimente, bei denen die Wellenlänge λ des Lichts von ähnlicher Grössenordnung ist wie die Abmessungen d der zu untersuchenden Objekte und die Objekte eine grosse Masse m aufweisen. Unter diesen Bedingungen treten Interferenz- oder Beugungserscheinungen zu Tage, d.h. das Licht zeigt klar die Eigenschaften elektromagnetischer Wellen. Typischerweise betrachten wir im Rahmen der Wellenoptik Experimente, bei denen elektromagnetische Strahlung (Licht) ausgehend von einer Quelle auf ein Beugungsobjekt trifft und fragen uns was für eine Intensität wir in einem Beobachtungspunkt hinter dem Beugungsobjekt messen werden.

    Eine anschauliche Beschreibung der Beugung folgt aus dem Prinzipvon Huygens, das besagt: Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront wird als Quelle einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst. Die Umhüllende dieser Elementarwellen ergibt dann die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Dieses Prinzip wurde nicht aus fundamentalen Prinzipien hergeleitet, sondern von Huygens postuliert. Im Rahmen der Kirchhoffschen Beugungstheorie wird gezeigt, dass die aus dem Prinzip von Huygens hergeleiteten Resultate auch aus der skalaren Wellengleichung folgen, was das Prinzip von Huygens im Nachhinein rechtfertigt.

    Wenn wir im Bereich des Beugungsobjekts von ebenen Wellen ausgehen können, sprechen wir von Fraunhofer-Beugung. Diese Näherung ist gerechtfertigt, wenn der Abstand zwischen Quelle und Beugungsobjekt, sowie zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungspunkt sehr viel grösser ist als die Dimensionen der Blende. Als Alternative kann jedoch auch die Punktquelle im Brennpunkt einer Sammellinse positioniert werden und der Beobachtungspunkt im Brennpunkt einer zweiten Sammellinse. In diesem Fall ist die Fraunhofer-Näherung exakt.

    Im Rahmen der Fraunhofer-Näherung ergeben sich folgende Intensitätsverteilungen IP im Beobachtungspunkt P hinter einem Beugungsobjekt:

    • Spalt

    • Doppelspalt

    • Rechteckige Blende

    • Lochblende

    Eine allgemeinere Formulierung der Bedingung für Fraunhofer-Beugung lautet: Fraunhofer-Beugung wird in der Bildebene eines Objekts beobachtet. In diesem Fall wird die Beugung durch Beugungsobjekte verursacht, die sich zwischen dem Objekt und der Bildebene befinden.

    Unter dem Auflösungsvermögen eines optischen Instruments versteht man den kleinsten Abstand zweier Objekte, so dass diese noch als zwei Objekte getrennt wahrgenommen werden können. Die Hauptursache für das begrenzte Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten sind Beugungseffekte. Das bekannteste Kriterium für das Auflösungsvermögen stammt von Rayleigh und besagt: Zwei Objekte können gerade noch als getrennt wahrgenommen werden, wenn das Hauptmaximum der Intensitätsverteilung, die vom ersten Objekt stammt, mit dem ersten Minimum der Intensitätsverteilung, die vom zweiten Objekt stammt, zusammenfällt. Daraus ergibt sich für den minimalen auflösbaren Winkelabstand Δ φmin bei einem Teleskop

    wobei D der Durchmesser der Frontlinse bezeichnet. Für den kleinsten mit einem Mikroskop noch auflösbaren Abstand Δxmin resultiert

    wobei N A = nsinα die numerische Apertur bezeichnet. n entspricht dabei dem Brechungsindex des Mediums zwischen dem Objektiv und dem Gegenstand und α dem halben Öffnungswinkel des Objektivs.

    Licht entspricht im Allgemeinen einer elektromagnetischen Welle und wird somit durch elektrische und magnetische Feldstärkevektoren, die senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung orientiert sind, beschrieben. Die Schwingungsrichtung des elektrischen Feldstärkevektors bezeichnet man dabei als Polarisation des Lichts. Bei der Ausbreitung von Licht im freien Raum gibt es keine ausgezeichnete Richtung, mit der die Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldstärkevektoren verglichen werden kann und Licht kann durch eine skalare Wellenfunktion beschrieben werden. Trifft jedoch Licht unter einem bestimmten Winkel auf eine Fläche, dann legt die Fläche eine ausgezeichnete Richtung fest und wir müssen uns um die Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldstärkevektoren kümmern.

    Natürliche Lichtquellen senden Licht aus, das eine Überlagerung von mehreren elektromagnetischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellt. Die auftretenden Frequenzen sind dabei je nach Lichtquelle unterschiedlich, d.h. die Intensität des Lichts in Abhängigkeit der Frequenz, das sogenannte Spektrum, ist für jede Lichtquelle einzigartig. Somit können durch die Analyse des Spektrums einer Lichtquelle Rückschlüsse auf die Eigenschaften der Lichtquelle gezogen werden. Solche Untersuchungen, insbesondere die Analyse des Spektrums des Wasserstoffatoms, lieferten einen grossen Teil der experimentellen Resultate, auf deren Basis die Quantenmechanik entwickelt wurde. Das Spektrum einer Lichtquelle kann z.B. mit einem Prisma, einem Gitterspektrometer, einem Michelson-Interferometer oder einem Fabry-Pérot-Interferometer gemessen werden.

  • Sind die Abmessungen d der zu untersuchenden Objekte viel kleiner als die Wellenlänge λ des Lichts und die Masse m der Objekte klein, so befinden wir uns im Bereich der Quantenoptik. In diesem Fall werden neue Effekte, wie z.B. der Photoeffekt oder der Compton-Effekt beobachtbar, bei deren Erklärung die klassische Beschreibung des Lichts durch Wellen versagt.