Kapitel 13
Der Spin des Elektrons

Wie in Abschnitt 12.4 angedeutet, ist in der Realität die Aufspaltung der Spektrallinien im homogenen externen Magnetfeld nicht alleine durch den normalen Zeeman-Effekt erklärbar. Es sind Aufspaltungen in vier, sechs oder mehr Linien beobachtbar, deren Abstand nicht durch den normalen Zeeman-Effekt erklärt werden können. Desweiteren kann bereits ohne Anlegen eines externen Magnetfelds eine Aufspaltung diverser Spektrallinien in Doppellinien beobachtet werden, die durch den Elektronspin hervorgerufen wird. Auf diese sogenannte Feinstruktur und deren Erklärung gehen wir in diesem und in den folgenden Kapiteln näher ein.

Wir befassen uns als erstes mit Experimenten, die auf das Auftreten einer Feinstruktur in atomaren Spektren hinweisen und die zur Hypothese desElektronspins geführt haben. Anschliessend betrachten wir die Einbindung dieser neuen Grösse in den bisher kennengelernten Formalismus der Quantenmechanik und eine mögliche mathematische Formulierung für den Elektronspin mittels den sogenannten Pauli-Matrizen.

In Kapitel 14 widmen wir uns dann der Wechselwirkung zwischen dem Elektronspin und dem Bahndrehimpuls des Elektrons, d.h. der sogenannten Spin-Bahn-Kopplung und damit der Erklärung der im Experiment beobachteten Feinstruktur. Im Weiteren befassen wir uns mit dem Einfluss eines externen Magnetfelds auf das Spektrum eines Atoms unter Einbezug des Elektronspins, d.h. dem sogenannten anomalenZeeman-Effekt.

13.1 Experimentelle Beobachtungen

Eine experimentelle Beobachtung, die auf das Auftreten einer Feinstruktur in atomaren Spektren hinweist, ist zum Beispiel die ohne externen Felder beobachtete Aufspaltung der ersten Linie der Balmer-Serie (n = 3 → n = 2 ) des Wasserstoffatoms bei der Wellenlänge λ = 656.3 nm in eine Doppellinie mit Wellenlängenabstand Δ λ = 0.14 nm.

Diese Aufspaltung wird auch bei der gelben Linie der Natrium-Dampflampe beobachtet. Diese Linie entspricht dem Übergang 3p → 3s und ist in der Spektroskopie unter dem Namen Natrium-D -Linie bekannt. Das Experiment zeigt, dass sie aus zwei Linien besteht, D1 mit λ = 589.6 nm und D2 mit λ = 589.0 nm. Die Untersuchung der weiteren Übergänge np → 3s zeigt auch weitere Doppellinien, deren Abstand mit steigender Hauptquantenzahl n systematisch abnimmt. Aus dieser Systematik kann man schliessen, dass es die p -Niveaus sind, die aufgespalten sind und nicht das 3s -Niveau. Allgemein findet man bei wasserstoffähnlichen Atomen, dass alle Niveaus, die Zuständen mit l ⁄= 0 entsprechen, in zwei Niveaus aufgespalten sind.

Die beim Wasserstoffatom und der Natrium-Dampflampe beobachtete Aufspaltung einzelner Spektrallinien in Doppellinien ist ein Anzeichen dafür, dass die drei Quantenzahlen n , l und m l , die den drei Freiheitsgraden eines Massepunkts entsprechen, nicht zur Beschreibung des Zustands eines Elektrons genügen. Es muss eine vierte Quantenzahl, die wir ms nennen, eingeführt werden. Die Doppellinien deuten an, dass diese neue Quantenzahl ms zwei Werte annehmen kann.

An dieser Stelle gerät man in Versuchung zu vermuten, dass die neue Quantenzahl damit zusammenhängen könnte, dass man das Elektron bisher als Massepunkt und nicht als einen Körper endlicher Ausdehnung aufgefasst hat. Jedoch würde dies zu drei weiteren Freiheitsgraden und damit drei zusätzlichen Quantenzahlen führen. Die Begründung der neuen Quantenzahl lieferten Samuel Abraham Goudsmit und George Eugene Uhlenbeck in einer von ihnen 1925 formulierten Hypothese:

Hypothese des Elektronspins

Das Elektron verhält sich als ob es einen Eigendrehimpuls hätte, dessen z-Komponente zwei diskrete Werte (charakterisiert durch die Quantenzahl ms ) annehmen kann. Dieser Eigendrehimpuls wird Spin genannt und mit ⃗S bezeichnet.

Bevor wir uns der Einbindung dieser neuen Grössen in den Formalismus der Quantenmechanik zuwenden, befassen wir uns mit einem Experiment, das einen weiteren Hinweis auf die Existenz des Elektronspins liefert.

13.1.1 Das Stern-Gerlach-Experiment

Otto Stern und Walther Gerlach führten im Jahr 1922 Experimente mit Atomstrahlen durch. Bei ihrem Experiment (siehe Abb. 13.1) erzeugten sie in einer hochevakuierten Apparatur einen Silber-Atomstrahl, indem sie aus einem kleinen Ofen durch ein Blendensystem hindurch Silber-Dampf austreten liessen.


PIC

Abb. 13.1: Stern-Gerlach-Experiment: Ein aus einem Ofen durch ein Blendensystem austretender Silber-Atomstrahl wird durch ein starkes inhomogenes Magnetfeld geschickt und auf einer Glasplatte aufgefangen.


Dieser Atomstrahl wurde durch ein stark inhomogenes Magnetfeld (mit Bz ≫ Bx , By ) hindurchgeschickt und dann auf einer Glasplatte aufgefangen. Dabei wirkt auf ein Atom die folgende Kraft

Bei ausgeschaltetem Magnetfeld läuft der Strahl, wie zu erwarten ist, geradeaus und es entsteht ein Silberfleck auf der Glasplatte, welcher der Blendengeometrie entspricht. Bei eingeschaltetem Magnetfeld würde man nach den bisherigen Erläuterungen zum Zeeman-Effekt (siehe Kapitel 12) eine Aufspaltung in eine ungerade Anzahl (genauer 2l + 1 ) von Strahlen und damit Flecken auf der Glasplatte erwarten. Die von Stern und Gerlach in ihrem Experiment verwendeten Silberatome bestehen aus mehreren gefüllten Elektronenschalen und einem Elektron, welches sich im 5s -Zustand (l = 0 ) befindet. Der Gesamtdrehimpuls der Elektronen, der „gefüllten“ Schalen, verschwindet. Demzufolge können diese in unseren Betrachtungen vernachlässigt werden und wir können uns alleine auf das äusserste Elektron konzentrieren. Für dieses gilt l = 0 (5s -Zustand) und demzufolge würde man keine Aufspaltung erwarten. Wäre das äusserste Elektron angeregt und befindet sich in einem 5p -Zustand (l = 1 ), dann würde man als Folge des Zeeman-Effekts eine Aufspaltung in drei Strahlen (Flecken) erwarten.

Das Experiment zeigt jedoch eine Aufspaltung in zwei Strahlen (Flecken) (siehe Abb. 13.1). Folglich muss das Elektron einen inneren Bahndrehimpuls (Spin) besitzen, dessen z -Komponente zwei diskrete Werte annehmen kann.

13.2 Einbindung in den Formalismus der Quantenmechanik

Bevor wir uns mit der Einbindung des Elektronspins in den Formalismus der Quantenmechanik befassen, versuchen wir eine klassische Motivation zu geben. Die Idee ist, den Spin (Eigendrehimpuls) und das entsprechende magnetische Moment durch die Rotation des Elektrons um eine feste Achse zu erklären. Schätzt man jedoch die Grösse des Elektrons mit re < 10-16 m ab, so müsste die Rotationsfrequenz, die benötigt wird, um den beobachteten Bahndrehimpuls und das magnetische Moment zu erklären, so hoch sein, dass die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator des Elektrons die Lichtgeschwindigkeit überschreiten würde. Folglich scheitert eine klassische Motivation und wir halten fest:

Es existiert keine klassische Erklärung für das Phänomen des Elektronspins.

Wir kommen zur quantenmechanischen Behandlung. Obwohl kein klassisches Pendant existiert, sind die Eigenschaften des Elektronspins ⃗S den Eigenschaften des Bahndrehimpulses ⃗ L des Elektrons recht ähnlich. Die Einbindung in den Formalismus der Quantenmechanik lässt sich motivieren in Analogie zum Bahndrehimpuls ⃗ L . Jedoch wird sich zeigen, dass die Analogie auch ihre Grenzen hat1 .

  • Der Spinoperator und die Spinwellenfunktion

    Der Bahndrehimpulsoperator ˆ⃗ L ist allgemein als Differentialoperator darstellbar (siehe Abschnitt 9.3.5)

    und wirkt auf die Wellenfunktion ψ (x,y,z,t) .

    Im Gegensatz dazu lässt sich der Spinoperator ˆ⃗ S nicht durch einen Differentialoperator darstellen. Dem inneren Freiheitsgrad des Elektrons entspricht nicht eine Raumkoordinate, sondern eine klassisch nicht deutbare Spinvariableσ . Jedoch gilt die Analogie insofern, dass wie zu den Ortskoordinaten x , y , z die Ortswellenfunktion ψ(x,y,z,t) gehört, der Spinvariablen σ eine Spinwellenfunktionχ(σ) entspricht. Der Spinoperator  ˆ⃗ S wirkt auf diese Spinfunktion.

  • Kommutationsrelationen

    Die Heisenbergsche Unschärferelation äussert sich in den Kommutationsrelationen für die Spin-Operatoren. Diese sind sozusagen eine physikalische Charakterisierung der Operatoren. Entsprechend der Analogie zwischen Spin und Bahndrehimpuls ergeben sich daher für den Spinoperator ⃗Sˆ Kommutationsrelationen analog zu denen des Bahndrehimpulsoperators ˆ⃗ L (siehe Abschnitt 9.3.6). Es gilt

  • Eigenwertgleichungen und Eigenfunktionen

    Für den Bahndrehimpulsoperator ⃗ˆ L gelten die folgenden Eigenwertgleichungen (siehe Abschnitt 11.2.3)

    wobei wir die Eigenfunktionen ψn,l,ml(r,ϑ,φ, t) in Abhängigkeit von Kugelkoordinaten r , φ und ϑ ausgedrückt haben. Für die Quantenzahlen l und ml gilt dabei

    Dementsprechend gibt es für ein festes l genau (2l + 1) Eigenfunktionen von Lˆz . Weiter gilt, dass die zu den Quantenzahlen n , l und ml gehörenden Zustände verändert werden können, zum Beispiel durch die Einstrahlung von Photonen und dass sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ (r,ϑ,φ, t)|2dV sich für grosse Quantenzahlen der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit nähert, d.h. es gilt das Korrespondenzprinzip.

    Analog gelten für den Spinoperator ˆ⃗ S die folgenden Eigenwertgleichungen

    wobei die Quantenzahl ms genau (2s + 1) Werte annehmen kann. Nach der von Goudsmit und Uhlenbeck formulierten Hypothese des Elektronspins muss also gelten (2s + 1) = 2 und demzufolge s = 1∕2 als einziger möglicher Wert für s und ms = ±1 ∕2 . Wir halten fest:

Der Spin des Elektrons wird durch die Quantenzahlen s = 1∕2 und m = ±1 ∕2 s charakterisiert. Wir sagen, das Elektron besitzt den Spin 1∕2 . Entsprechend gelten die folgenden Eigenwertgleichungen

Der Zustand χ (σ ) +1∕2 wird auch häufig als „spin up“|↑⟩ und der Zustand χ -1∕2(σ) als „spin down“|↓⟩ bezeichnet.

Im Gegensatz zu den Quantenzahlen n , l und ml , ist also s unveränderlich2 . Weiter ist der Übergang zu hohen Quantenzahlen nicht möglich, der Spin hat kein klassisches Analogon.

  • Das magnetische Moment

    Obwohl der Spin klassisch nicht erfasst werden kann, ist es mitunter nützlich, wenn man sich unter dem Elektron ein rotierendes geladenes kugelförmiges Objekt vorstellt. Aufgrund dieser Vorstellung erwartet man zum Beispiel ein durch den Spin erzeugtes magnetisches Moment ⃗μ (s) . Jedoch zeigt sich hier, dass die Analogie zum Bahndrehimpuls ⃗L ihre Grenzen hat. Denn es gilt für die z -Komponente des magnetischen Moments μ z (siehe Abschnitt 12.2) bzw.  (s) μz hervorgerufen durch den Bahndrehimpuls ⃗ L bzw. Spin ⃗ S des Elektrons

    wobei g0 = 2.00231923 gyromagnetischer Faktor genannt wird. Damit ist das gyromagnetische Verhältnis γ , d.h. das Verhältnis zwischen magnetischem Moment und Bahndrehimpuls bzw. Spin, beim Spin des Elektrons mehr als doppelt so gross wie beim Bahndrehimpuls3 .

  • Die Zeeman-Aufspaltung

    Nach Abschnitt 12.3 gilt für das Elektron des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung des Spins im Zustand ψn,l,ml(r,ϑ,φ ) : Die Energieniveaus En = - ER ∕n2 charakterisiert durch die Quantenzahl n spalten sich im homogenen externen Magnetfeld ⃗B in (2l + 1) Niveaus En,ml = - ER ∕n2 + μBBml charakterisiert durch die Quantenzahlen n und ml mit Abstand Δ = μBB auf. Der entsprechende Hamilton-Operator Hˆ ist gegeben durch

    Entsprechend gilt für ein freies Elektron der festen Energie E mit Spin σ im Zustand χms (σ ) : Das Energieniveau E spaltet sich in zwei Niveaus E = E + g μ B ∕2 ms=+1∕2 0 B und E = E - g μ B∕2 ms=- 1∕2 0 B auf charakterisiert durch die Quantenzahl ms mit dem folgenden Abstand

    Der entsprechende Hamilton-Operator ˆH ist gegeben durch

Bemerkung

Es sei bemerkt, dass das Elektron nicht das einzige Elementarteilchen ist, das einen Spin aufweist. Das Proton und das Neutron besitzen ebenfalls den Spin 1/2. Die entsprechenden magnetischen Momente μp und μn sind unterschiedlich, jedoch beide von der Grössenordnung des Kernmagnetons

wobei mp die Masse des Protons bezeichnet. Das Kernmagneton μK ist 1836 mal kleiner als das Bohr-Magneton μB . Interessant ist dabei vor allem auch die Tatsache, dass das Neutron, obwohl es keine Ladung besitzt ein magnetisches Moment aufweist.

Neben den Elementarteilchen besitzen auch viele Atomkerne einen Spin. Es existieren Kerne mit ganzzahligem (1, 2, 3, ...) und Kerne mit halbzahligem (1/2, 3/2, 5/2, ...) Spin. Alle Atomkerne mit Spin besitzen ein entsprechenden magnetisches Moment, das von der Grössenordnung von μK ist. Dabei hängt das Verhältnis zwischen Spin und magnetischem Moment jeweils von der Kernsorte ab4 .

13.3 Die Pauli-Matrizen

Als nächstes betrachten wir eine elegante mathematische Darstellung für den Elektronspin S⃗ . Der Spin ist eine physikalische Observable und deshalb ist der entsprechende Operator ˆS z hermitesch. Nach Satz 9.5 lässt sich demnach jede beliebige Spinfunktion χ(σ ) als Linearkombination der beiden orthogonalen (siehe Satz 9.3) und normierten Eigenfunktionen χ+1∕2(σ) und χ-1∕2(σ) schreiben

wobei α+ , α - ∈ ℂ und aufgrund der Normierung

In anderen Worten: Die Eigenfunktionen χ+1∕2(σ) und χ-1∕2(σ) bilden die Basis des zweidimensionalen Raums der Spinfunktionen χ(σ) und wir können sie als zweidimensionale Spaltenvektoren schreiben

Entsprechend lautet nach (13.20) die allgemeine Spinfunktion χ (σ ) in dieser Darstellung

In dieser Darstellung entsprechen die Operatoren Sˆx , Sˆy und ˆSz Matrizen. Es gilt

wobei σx , σy und σz den sogenannten Pauli-Matrizen entsprechen5 und gegeben sind durch (für eine Herleitung der Pauli-Matrizen verweisen wir auf Anhang K)

Der Spinoperator ˆ⃗S lautet entsprechend

und das Quadrat Sˆ⃗2 des Spinoperators

13.3.1 Leiteroperatoren

Oft werden zusätzlich die sogenannten Leiteroperatoren ˆ S+ und ˆ S- eingeführt, die, wie wir sehen werden, einen Zustandswechsel bewirken.

Definition  13.1 Die Leiteroperatoren ˆS+ und ˆS- sind definiert als

In Matrixschreibweise ergeben sich mit (13.24) folgende Darstellungen

Die Anwendung der Leiteroperatoren auf die beiden Zustände (1,0) und (0,1) ergibt somit

Wir sehen, wie zu Beginn angedeutet, dass die Leiteroperatoren ˆS+ und Sˆ- einen Zustandswechsel bewirken. Genauer ausgedrückt, erhöht der Operator Sˆ+ die dem Zustand entsprechende Quantenzahl ms um 1 und der Operator Sˆ- erniedrigt sie um 1. Entsprechend wird in Analogie zum quantenmechanischen harmonischen Oszillator (siehe Kapitel 10) ˆS + Erzeugungsoperator und ˆS - Vernichtungsoperator genannt.

13.4 Zusammenfassung

  • Verschiedene experimentelle Beobachtungen wie die Aufspaltung der ersten Linie der Balmer-Serie des Wasserstoffatoms oder der gelben Linie der Natrium-Dampflampe in eine Doppellinie weisen auf das Auftreten einer Feinstruktur in atomaren Spektren hin. Diese Resultate führten zur Hypothese des Elektronspins: Das Elektron verhält sich als ob es einen Eigendrehimpuls hätte, dessen z-Komponente zwei diskrete Werte (charakterisiert durch die Quantenzahl ms ) annehmen kann. Dieser Eigendrehimpuls wird Spin genannt und mit ⃗S bezeichnet.
  • Die Hypothese des Elektronspins wird durch das Stern-Gerlach-Experiment bestätigt, bei dem ein Silber-Atomstrahl ein starkes inhomogenes Magnetfeld passiert und dadurch - gegen die bisherigen Vermutungen - in zwei Strahlen aufgespaltet wird.
  • Es zeigt sich, dass für das Phänomen des Elektronspins keine klassische Erklärung existiert. Dennoch entsprechen die Eigenschaften des Elektronspins im Wesentlichen denjenigen des Bahndrehimpulses des Elektrons. Tab. 13.1 zeigt eine Gegenüberstellung der wichtigsten Eigenschaften des Elektronspins und des Bahndrehimpulses.





    Bahndrehimpuls ⃗L Spin ⃗S



       
    Operatorˆ⃗ L ⃗ˆ S
       
    Wellenfunktionψ (x,y,z,t) χ(σ)
       
    Kommutationsrelationenˆ ˆ ˆ [Lx,Ly ] = iℏLz  ˆ ˆ ˆ [Sx,Sy] = iℏ Sz
    ˆ ˆ ˆ [Ly,Lz ] = iℏLx  ˆ ˆ ˆ [Sy,Sz] = iℏSx
    [ˆLz,Lˆx ] = iℏˆLy [ˆSz, ˆSx] = iℏSˆy
       
    Eigenfunktionenψn,l,ml(x,y,z,t) χms(σ)
       
    EigenwerteˆLz : ℏml ˆSz : ℏms
    ˆ⃗L2 : ℏ2l(l + 1) ˆ⃗S2 : 3∕4ℏ2
       
    Quantenzahlenn ∈ ℕs = 1∕2
    l = 0,1,2,...,(n - 1) ms = ±1 ∕2
    ml = 0,±1, ±2,...,±l
       
    magnetisches Momentμz = - μBml μ(zs)= - g0μBms
       
    Zeeman-AufspaltungΔ = μBB Δ(s) = g0μBB



       

    Tab. 13.1:Gegenüberstellung der wichtigsten Eigenschaften des Bahndrehimpulses ⃗L und des Elektronspins ⃗S , wobei σ eine klassisch nicht deutbare Spinvariable, μB = eℏ∕(2m ) das Bohr-Magneton und g = 2.00231923 0 der gyromagnetischer Faktor ist.

  • Neben dem Elektron besitzen auch das Proton und das Neutron den Spin 1/2. Ebenfalls einen Spin weisen Atomkerne auf.
  • Eine elegante mathematische Darstellung für den Elektronspin sind die sogenannten Pauli-Matrizen. Dieser Darstellung zugrunde liegt die Tatsache, dass jede beliebige Spinfunktion als Linearkombination der beiden orthogonalen und normierten Eigenfunktionen χ+1∕2(σ ) und χ-1∕2(σ) geschrieben werden kann. Der Raum der Spinfunktionen ist demzufolge zweidimensional mit den Eigenfunktionen χ+1∕2(σ) und χ- 1∕2(σ) als Basis. Eine beliebige Spinfunktion kann deshalb als zweidimensionaler Spaltenvektor geschrieben werden und die Operatoren Sˆx , ˆSy , ˆSz , ˆ⃗S und Sˆ⃗2 als Matrizen.