Appendix A
Gauss-Verteilung

Wir führen an dieser Stelle die Berechnungen des Beispiels aus Abschnitt 9.2.2 durch. Dabei wird ein Teilchen betrachtet, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x,t)|2 durch die Gauss-Verteilung (siehe Gl. (9.27)) gegeben ist. Allen folgenden Berechnungen liegt die Berechnung des sogenannten Gauss-Integrals zugrunde, welches gegeben ist durch

wobei k ∈ ℝ eine Konstante ist.

Beweis:

Als erstes zeigen wir, dass das Gauss-Integral durch ein Integral über den gesamten zweidimensionalen Raum geschrieben werden kann. Es gilt

Demzufolge gilt

Dieses Integral lässt sich nun einfach berechnen, indem wir von den kartesischen zu Polarkoordinaten wechseln. Mit den Transformationsregeln x = rcosφ und y = r sin φ und dem Flächenelement dA = dxdy = rdrdφ erhalten wir

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Mit (18.1) können wir nun die Berechnungen aus Abschnitt 9.2.2 ausführen. Wir beginnen mit der Normierungsbedingung (9.28)

Für den Erwartungswert ⟨x ⟩  (9.29) ergibt sich

Für die Unschärfe Δx  (9.30) erhalten wir

Als nächstes führen wir das Integral zur Bestimmung der Impulswellenfunktion ϕ(p,t)  (9.32) aus

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte  2 |ϕ(p,t)| im Impulsraum ergibt sich in Übereinstimmung mit (9.33)

Damit sind wir in der Lage die beiden restlichen Berechnungen durchzuführen, d.h. die Berechnung des Erwartungswerts ⟨p⟩  (9.34) und der Unschärfe Δp (9.35). Es ergibt sich