Appendix C
Beweis Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Wir zeigen hier die Richtigkeit des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens aus Abschnitt 9.5.6, welches ermöglicht aus ursprünglich n nicht orthogonalen (normierten) Eigenfunktionen ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , n orthogonale (normierte) Eigenfunktionen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , zu gewinnen. Zu zeigen ist, dass die n durch (9.270) definierten neuen (normierten) Eigenfunktionen Ψ (x, t) i , i = 1, 2, ..., n , paarweise orthogonal zueinander sind, d.h. wir müssen zeigen, dass

Der Beweis erfolgt nach dem Induktionsverfahren:

  • Verankerung: Für n = 1 ist die Richtigkeit der Aussage klar.
  • Schrittn - 1 ↦→ n : Wir nehmen also an, dass die (normierten) Eigenfunktionen Ψi (x,t) , i = 1, 2, ..., n- 1 paarweise orthogonal zueinander sind und zeigen, dass dann auch Ψn(x,t) orthogonal zu allen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n - 1 ist, d.h. dass

    wobei k ∈ {1,2,...,n- 1 } beliebig. Wir führen diese Rechnung nun aus. Mit (9.270) ergibt sich

    Nach Voraussetzung sind die (normierten) Eigenfunktionen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n- 1 paarweise orthogonal zueinander und demzufolge ist

    Damit folgt aus (20.3)

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