Appendix E
Der quantenmechanische harmonische Oszillator - Potenzreihenansatz

In Abschnitt 10.2 haben wir eine algebraische Lösung der Differentialgleichung (10.7)

des harmonischen Oszillators kennengelernt. Wir zeigen hier nun eine alternative Lösung, die wie bereits in Abschnitt 10.2 angedeutet, auf einem Potenzreihenansatz aufbaut. Als erstes formen wir die Differentialgleichung um, indem wir ein paar neue Variablen einführen

Damit vereinfacht sich (22.1) zu

Für sehr grosse z reduziert sich unsere Differentialgleichung auf die Form

Diese Gleichung wird näherungsweise durch die Funktion

gelöst. Denn es gilt für grosse z

Aus diesem Grund wählen wir als Ansatz

Einsetzen in (22.5) liefert

Nun sind wir an der Stelle angelangt, wo der Potenzreihenansatz zum Zuge kommt. Wir setzen

Einsetzen in (22.10) ergibt

Damit die Summe verschwindet, müssen die Koeffizienten jeder Potenz verschwinden. Daher erhalten wir die folgende Bedingung

Damit ergibt sich zwischen den Koeffizienten die Rekursionsrelation

Für grosse j ergibt sich somit das folgende Grenzverhalten

Wir vergleichen dieses Verhalten der Potenzreihe Q (z) mit der Reihe

wobei ∑ ′ nur über jedes zweite Glied summiert. In diesem Fall ergibt sich für nachfolgende Koeffizienten das folgende Grenzverhalten

D.h. die Reihe Q (z) würde wie ez2 divergieren für z → ∞ , wenn sie nicht abbricht. Demzufolge würde u (z) wie ez2e-z2∕2 = ez2∕2 divergieren für z → ∞ und u (x ) wäre nicht normierbar und daher physikalisch nicht sinnvoll. Demzufolge muss die Reihe Q(z) abbrechen. Nennen wir die höchste in der Reihe auftretende Potenz n , so ergibt sich die Abbruchbedingung an+2 = 0 und damit aus (22.14)

Mit (22.4) ergeben sich damit in Übereinstimmung mit (10.43) die folgenden diskreten Energiewerte En für den harmonischen Oszillator

Die zu den Energiewerten En zugehörigen Funktionen Q (z) und damit die Wellenfunktionen u (x) n könnten mit Hilfe der Rekursionsrelation (22.14) bestimmt werden. Setzen wir jedoch die Bedingung (22.18) in (22.5) ein, erhalten wir folgende Differentialgleichung

welche mit der Differentialgleichung (26.2) der Hermite-Polynome Hn (z) übereinstimmt. D.h. es gilt Q(z) = Hn (z) und wir erhalten mit (22.9) und (22.3) für die Wellenfunktion un (x ) des harmonischen Oszillators die folgende Lösung

wobei A eine noch zu bestimmende Normierungskonstante ist. Mit der Orthogonalitätsrelation (26.7) ergibt sich die folgende Bedingung für A

Daraus ergibt sich für die Normierungskonstante A

Einsetzen in (22.21) liefert in Übereinstimmung mit (10.44) für die Wellenfunktion un (x ) des harmonischen Oszillators das folgende Schlussresultat