Appendix K
Pauli-Matrizen

In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen σx , σy und σz kennengelernt. Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.

Die Pauli-Matrix σz ergibt sich aus der Anwendung von  ˆ Sz auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ ) = (1,0) und χ- 1∕2(σ) = (0,1) . Mit (13.12) ergibt sich

und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σz das folgende Resultat

Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen σx und σy leiten wir die Eigenschaften und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren Sˆ+ und ˆS- unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen Sˆx und Sˆy her.

Die Leiteroperatoren ˆS+ und ˆS- sind nach (13.28) und (13.29) gegeben durch

Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:

  • Produkt
  • Quadrat des Spinoperators
  • Kommutatorrelationen

    Mit (13.4) und (13.5) folgt

    mit (28.5) und (28.6) ergibt sich

    und in Analogie zu (11.15) gilt

Wir wenden nun den Operator ˆ Sz auf die Zustände ˆ S±χms (σ) an und untersuchen damit den Einfluss der Leiteroperatoren Sˆ± auf die magnetische Spinquantenzahl ms = ±1∕2 . Wir erhalten

Somit erhöht (erniedrigt) der Operator Sˆ+ (ˆS- ) die Quantenzahl ms um 1. Auf analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren ˆS± auf die Spinquantenzahl s = 1∕2 . Es gilt

pict

Folglich bleibt die Spinquantenzahl s = 1∕2 unverändert bei der Anwendung der Leiteroperatoren ˆS± .

Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände ˆS± χms(σ) und erhalten mit (28.5), (28.6), (13.10) und (13.11)

wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen χms (σ) auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der Quantenzahlen s und ms unter der Anwendung der Leiteroperatoren ˆ S± erhalten wir damit die folgende Gleichung

Mit s = 1∕2 und ms = ±1 ∕2 ergibt sich daraus für die Anwendung der Leiteroperatoren ˆS± auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ) = (1,0) und χ -1∕2(σ) = (0,1)

Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren ˆ S± durch die folgenden Matrizen darstellen

Damit folgt für die beiden Operatoren ˆSx und ˆSy

und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σx und σy das folgende Resultat