Anhang J
Hamilton-Funktion im Magnetfeld

In Abschnitt 12.3 haben wir die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Ladung q und der Masse m im Magnetfeld B⃗ kennengelernt. Sie lautet (siehe Gl. (12.15))

Wir geben in diesem Kapitel eine Motivation dieser Hamilton-Funktion, indem wir die erweiterte Hamilton-Funktion

für ein Teilchen der Ladung q und der Masse m im elektromagnetischen Feld, welches durch die elektrische Feldstärke ⃗ E und die magnetische Flussdichte ⃗ B charakterisiert ist, auf die bekannte Newtonsche Bewegungsgleichung

zurückführen. Dabei ist ϕ das elektrische Potential und es gelten zwischen der elektrischen Feldstärke ⃗ E , der magnetische Flussdichte ⃗ B , dem elektrischen Potential ϕ und dem Vektorpotential ⃗ A die folgenden Zusammenhänge

Wir beginnen mit der Aufstellung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

wobei x1 = x , x2 = y , x3 = z . Aus (J.6) ergibt sich für die zweite Ableitung von xi nach der Zeit

Damit erhalten wir

Mit der Vektoridentität

ergibt sich

und damit

Somit haben wir die Hamilton-Funktion (J.2) auf die Newtonsche Bewegungsgleichung (J.3) zurückgeführt.