Anhang K
Pauli-Matrizen

In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen σx , σy und σz kennengelernt. Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.

Die Pauli-Matrix σz ergibt sich aus der Anwendung von Sˆz auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ ) = (1,0) und χ- 1∕2(σ) = (0,1) . Mit (13.12) ergibt sich

und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σz das folgende Resultat

Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen σ x und σ y leiten wir die Eigenschaften und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren  ˆ S+ und ˆ S- unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen  ˆ Sx und Sˆy her.

Die Leiteroperatoren ˆ S+ und ˆ S- sind nach (13.28) und (13.29) gegeben durch

Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:

  • Produkt
  • Quadrat des Spinoperators
  • Kommutatorrelationen

    Mit (13.4) und (13.5) folgt

    mit (K.5) und (K.6) ergibt sich

    und in Analogie zu (11.15) gilt

Wir wenden nun den Operator ˆ Sz auf die Zustände ˆ S�χms (σ) an und untersuchen damit den Einfluss der Leiteroperatoren Sˆ� auf die magnetische Spinquantenzahl ms = �1∕2 . Wir erhalten

Somit erhöht (erniedrigt) der Operator Sˆ+ (ˆS- ) die Quantenzahl ms um 1. Auf analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren ˆS� auf die Spinquantenzahl s = 1∕2 . Es gilt

pict

Folglich bleibt die Spinquantenzahl s = 1∕2 unverändert bei der Anwendung der Leiteroperatoren ˆS� .

Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände ˆS� χms(σ) und erhalten mit (K.5), (K.6), (13.10) und (13.11)

wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen χms (σ) auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der Quantenzahlen s und ms unter der Anwendung der Leiteroperatoren ˆ S� erhalten wir damit die folgende Gleichung

Mit s = 1∕2 und ms = �1 ∕2 ergibt sich daraus für die Anwendung der Leiteroperatoren ˆS� auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ) = (1,0) und χ -1∕2(σ) = (0,1)

Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren ˆ S� durch die folgenden Matrizen darstellen

Damit folgt für die beiden Operatoren ˆSx und ˆSy

und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σx und σy das folgende Resultat