Anhang B
Heisenbergsche Unschärferelation

Die allgemeine Heisenbergsche Unschärferelation für zwei beliebige hermitesche Operatoren Aˆ und Bˆ und einen beliebigen Zustand ψ (x,t) ist gegeben durch

Wir leiten nun diese allgemeine Formulierung der Heisenbergschen Unschär-ferelation ausgehend von der sogenannten Schwarzschen Ungleichung her und zeigen anschliessend, dass die Unschärferelation (9.37) für Ort und Impuls als Spezialfall aus (B.1) folgt.

B.1 Schwarzsche Ungleichung

Für zwei beliebige Wellenfunktionen φ(x,t) und ψ(x,t) gilt

Beweis:

  • Für φ (x,t) = 0 ist die Ungleichung (B.2) erfüllt.
  • Für φ (x,t) ⁄= 0 wählen wir den Ansatz

    wobei ξ(x,t) folgende Eigenschaft besitzt

    Damit ergibt sich

    Daraus folgt für die Konstante w der folgende Ausdruck

    Mit (B.3), (B.4) und (B.6) erhalten wir schlussendlich

    □

B.2 Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation

Wir zeigen nun unter Benützung der Schwarzschen Ungleichung (B.2) die Richtigkeit von (B.1).

Es seien  ˆ A und  ˆ B zwei beliebige hermitesche Operatoren und ψ(x,t) ein beliebiger Zustand. Nach Definition 9.4 ist das Unschärfeprodukt (ΔA )ψ (ΔB )ψ gegeben durch

Wir führen die beiden hermiteschen Operatoren

ein, womit das Unschärfeprodukt (ΔA )ψ(ΔB )ψ geschrieben werden kann als

Gleichzeitig gilt aufgrund der Schwarzschen Ungleichung (B.2)

Diese Ungleichung können wir auch schreiben in der Form

Unter Ausnützung der Hermitezität der Operatoren Xˆ1 und Xˆ2 ergibt sich

Der Vergleich mit (B.11) zeigt, dass die linke Seite dieser Ungleichung dem Quadrat des Unschärfeprodukts (ΔA )ψ(ΔB )ψ entspricht. Daher ergibt sich

Wir führen nun den Antikommutator{ ˆX1,Xˆ2 } = ˆX1Xˆ2 + Xˆ2 Xˆ1 ein und schreiben damit das Produkt Xˆ1 ˆX2 in der Form

Einsetzen in die rechte Seite der Ungleichung (B.15) ergibt

Einsetzen in (B.15) liefert

Der Erwartungswert des Antikommutators ist reell und derjenige des Kommutators rein imaginär. Aus diesem Grund können wir schreiben

Wir setzen nun als nächstes die Definitionen (B.9) und (B.10) in den Kommutator  ˆ ˆ [X1,X2 ] ein und erhalten

Einsetzen in (B.19) ergibt nun in Übereinstimmung mit (B.1) das folgende Resultat

B.3 Beispiel

Wie zu Beginn erwähnt, zeigen wir zum Abschluss, dass die Formulierung (9.37) als Spezialfall aus (B.1) folgt. Es sei also  ˆ A = xˆ und ˆ B = ˆpx . Einsetzen in (B.1) ergibt mit (9.85)

D.h. es folgt in Übereinstimmung mit (9.37)