Anhang D
Entwicklung einer Dreiecksfunktion

Wir betrachten ein Teilchen im Potentialtopf, welches sich zur Zeit t = 0 in einem Zustand ψ (x,0) befindet, welcher durch eine (normierte) Dreiecksfunktion beschrieben werden kann (siehe Abb. D.1)


PIC

Abb. D.1: Der Zustand eines Teilchens im Potentialtopf wird zur t = 0 durch eine Dreiecksfunktion beschrieben.


Das Ziel ist es nun diesen Zustand entsprechend dem Satz 9.5 nach den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators des Teilchens im Potentialtopf zu entwickeln. Diese sind nach (9.128) gegeben durch

wobei

Nach Satz 9.5 gilt

Wir berechnen nun für unser Beispiel die Entwicklungskoeffizienten cn . Es ergibt sich mit (D.1) und (D.3)

Einsetzen in (D.4) ergibt für die Wellenfunktion ψ(x,0) zur Zeit t = 0 die folgende Entwicklung

Den Zeitverlauf der Wellenfunktion ψ(x,t) ergibt sich nun aus der bekannten Zeitabhängigkeit der stationären Zustände ψn(x,t)  (D.2). Wir erhalten damit die folgende Lösung