Anhang I
Mathematische Funktionen

In Kapitel 10 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator sowie in Kapitel 11 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom treten verschiedene aus der Mathematik bekannte Differentialgleichungen auf. An dieser Stelle fassen wir die Eigenschaften der Lösungen dieser Differentialgleichungen zusammen.

I.1 Hermite-Polynome

Die Hermite-Polynome Hn(x) treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators auf (siehe Abschnitt 10.2.4) und sind nach (10.45) gegeben durch

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Rekursionsformeln

  • Erzeugende Funktion

  • Explizite Darstellung

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Beispiele

I.2 Legendre-Polynome

Die Legendre-Polynome Pl(x ) treten als Basis für die zugeordneten Legendre-Polynome (siehe Abschnitt I.3) auf und sind nach (11.34) gegeben durch

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Rekursionsformeln

  • Erzeugende Funktion

  • Explizite Darstellung

    wobei

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Beispiele

I.3 Zugeordnete Legendre-Polynome

Die zugeordneten  ml Pl (x ) treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Polarkomponente Θl,ml(ϑ) der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ ) des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.1) und sind nach (11.30) gegeben durch

wobei Pl(x) die Legendre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.2).

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Rekursionsformeln

  • Erzeugende Funktion

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Beispiele

I.4 Laguerre-Polynome

Die Laguerre-Polynome Ln (x ) treten als Basis für die zugeordneten Laguerre-Polynome (siehe Abschnitt I.5) auf und sind gegeben durch

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Rekursionsformeln

  • Erzeugende Funktion

  • Explizite Darstellung

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Beispiele

I.5 Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten Laguerre-Polynome Lmn (x) treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den radialen Anteil Rn,l(r) der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ ) des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.3) und sind gegeben durch

wobei Ln (x ) die Laguerre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.4).

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Erzeugende Funktion

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Explizite Darstellung

  • Beispiele

I.6 Kugelfunktionen

Die Kugelfunktionen Y (ϑ,φ) l,ml treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den winkelabhängigen Anteil der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ) des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.2) und sind nach (11.38) gegeben durch

pict

Eigenschaften
  • Differentialgleichung

  • Orthogonalit ätsrelation

  • Vollst ändigkeit

  • Additionstheorem

    wobei

    Dabei entspricht Θ dem Winkel zwischen den beiden Richtungen (ϑ,φ ) und  ′ ′ (ϑ ,φ ) .

  • Beispiele