Kapitel 10
Der quantenmechanische harmonische Oszillator

In diesem Kapitel befassen wir uns mit den quantenmechanischen Eigenschaften eines der grundlegenden Modelle der Physik, dem harmonischen Oszillator. Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches System in dem eine charakteristische Grösse, wie z.B. die Koordinate eines Teilchens, eine sinusförmige Zeitabhängigkeit zeigt, d.h. eine harmonische Schwingung ausführt. Diese Oszillationen werden durch eine in dieser charakteristischen Grösse linearen Rückstellkraft im Zusammenspiel mit der Trägheit des Systems verursacht. In der Natur gibt es sehr viele physikalische Systeme, die in guter Näherung als ein solches lineares Schwingungssystem betrachtet werden können: Mechanische Oszillatoren, z.B. das Federpendel, elektrische Oszillatoren, z.B. der LC-Schwingkreis, die Schwingungen zweiatomiger Moleküle oder Gitterschwingungen in einem Festkörper, um nur einige zu nennen.

Hier beginnen wir mit der klassischen Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators, die wir für das Beispiel des Federpendels formulieren. Es folgt dann die quantenmechanische Behandlung des harmonischen Oszillators, bei der wir die zugehörige Schrödinger-Gleichung lösen. Zum Abschluss des Kapitels vergleichen wir den klassischen mit dem quantenmechanischen Oszillator.

10.1 Klassische Bewegungsgleichung

Wir betrachten ein Federpendel (siehe Abb. 10.1), d.h. ein Teilchen der Masse m , welches an einer Feder mit Federkonstante k befestigt ist und Oszillationen um die Ruhelage x = 0 ausführt.


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Abb. 10.1: Federpendel: Ein Teilchen der Masse m ist an einer Feder mit Federkonstante k befestigt und führt Oszillationen um die Ruhelage x = 0 aus.


Diese Schwingung um die Ruhelage kommt aufgrund der durch die Feder bewirkten linearen Kraft zustande. Diese Kraft wird Rückstellkraft genannt, da sie in jedem Punkt auf der x-Achse in Richtung Ruhelage zeigt und somit bei einer Auslenkung das Teilchen wieder in Richtung der Ruhelage zwingt. Für ein Federpendel ist diese Rückstellkraft Fk durch das sogenannte Hookesche Gesetz gegeben

Sie ist wie bereits erwähnt linear in der Auslenkung x aus der Ruhelage. Die klassische Bewegungsgleichung lautet demzufolge

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung bei der Kreisfrequenz  ∘ ----- ω = k∕m

mit Amplitude A und der Phase ϕ , die von den Anfangsbedingungen abhängen. Die Lösung verdeutlicht noch einmal, dass bei einem harmonischen Oszillator die Frequenz ν = ω∕2π unabhängig von der Amplitude A ist.

Diese grundlegenden Eigenschaften, die wir am Beispiel des Federpendels kennengelernt haben, liegen allen Systemen, welche durch ein Oszillatormodell beschrieben werden können, zugrunde. Jedes solche System führt eine Oszillation um eine Ruhelage, bewirkt durch eine lineare Rückstellkraft, aus, wobei die Oszillationsfrequenz für genügend kleine Auslenkungen unabhängig von der Amplitude ist.

Wie zu Beginn erwähnt, lassen sich zahlreiche physikalische Systeme angenähert als harmonische Oszillatoren beschreiben. Jedoch sind in realen Systemen die Rückstellkräfte häufig bei grösseren Auslenkungen nicht linear. Diese Nichtlinearität führt zu anharmonischen Oszillationen, bei denen das System Schwingungen bei einer Reihe von Frequenzen ausführt. In anderen Worten ein idealer harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft für beliebig grosse Auslenkungen linear in der Auslenkung aus der Ruhelage ist, existiert nicht. Dennoch kann die Rückstellkraft auch für solche Systeme für genügend kleine Auslenkungen aus der Ruhelage linearisiert werden. Mathematisch bedeutet diese Linearisierung, dass die Rückstellkraft F(x) um die Ruhelage x0 bis zum linearen Term (Taylor-)entwickelt wird

wobei wir verwendet haben, dass in der Ruhelage x0 keine Kraft auf das Teilchen wirkt, d.h. F(x ) = 0 0 . Wenn alle anderen Terme in dieser Entwicklung ausreichend klein sind, so lässt sich das System in guter Näherung als harmonischer Oszillator beschreiben.

10.2 Quantenmechanische Lösung

10.2.1 Formulierung der Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung lautet

Das Potential V (x,t) (siehe Abb. 10.2) ergibt sich dabei aus der Integration über die Rückstellkraft Fk = - kx


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Abb. 10.2: Harmonisches Potential V (x) = ω2x2∕2 als Funktion von x .


Wir sehen, dass das Potential zeitunabhängig ist und betrachten deshalb die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Diese Differentialgleichung lässt sich z.B. mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes lösen (siehe Anhang E).

Hier betrachten wir jedoch eine häufig verwendete Lösungsmethode, bei der zunächst sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eingeführt werden. Dazu schreiben wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung um, indem wir die beiden Operatoren

einführen, wobei  ∘ ------ x0 = ℏ∕ωm die Oszillatoramplitude normiert.

Bevor wir die Schrödinger-Gleichung umschreiben, gehen wir zuerst auf einige wichtige Eigenschaften der Operatoren ˆb und ˆb† ein:

  • Die beiden Operatoren ˆb und ˆb† sind nicht hermitesch. Jedoch ist ˆb† der adjungierte Operator zu ˆb :

    Definition 10.1 ˆ† F heisst zu ˆ F adjungierter Operator, wenn fürbeliebige Wellenfunktionenψ(x,t) undφ (x, t) gilt

    Dass die Relation (10.10) für die Operatoren ˆ b und ˆ† b erfüllt ist, zeigt folgende Rechnung

    Partielle Integration für den zweiten Summanden liefert

    Einsetzen in (10.11) ergibt

  • Die Operatoren ˆb und ˆb† erfüllen die folgenden Kommutatorrelationen

    D.h. es gilt [ˆb†,ˆb] = - 1 . Analog folgen

Wir kommen nun zurück zu unserem ursprünglichen Ziel, der Formulierung der Schrödinger-Gleichung (10.7) mit Hilfe der Operatoren ˆb und  † ˆb . Wir berechnen dazu den Ausdruck ℏωˆb†ˆbu(x) . Es ergibt sich mit  ∘ ------ x0 = ℏ∕ωm (siehe Berechnung (10.14))

Damit hat die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators ausgedrückt in den Operatoren ˆ b und ˆ† b die folgende Form

Wir gehen noch einen Schritt weiter und schreiben

D.h. die Eigenfunktionen u(x) des Hamilton-Operators sind Eigenfunktionen des Operators  ˆ†ˆ ˆn = b b zum Eigenwert n = E∕(ℏω )- 1∕2 . Später werden wir erkennen, dass der Erwartungswert des Operators ˆn der Anzahl n der Quanten ℏω des harmonischen Oszillators entspricht.

Unser nächstes Ziel ist nun die Bestimmung der Eigenfunktionen un(x) und der entsprechenden Eigenwerte n des Operators ˆn . Die Eigenfunktionen un(x) sind identisch mit denen des Hamilton-Operators und die entsprechenden Energieeigenwerte En ergeben sich dann zu

Dabei haben wir die Quantenzahl n für die Eigenfunktionen un(x) und die Energieeigenwerte En eingeführt.

10.2.2 Berechnung des Grundzustands

Wir bestimmen den Grundzustand des Operators ˆn , d.h. die Eigenfunktion un(x) zum niedrigst möglichen Eigenwert n . Dazu müssen wir als erstes den niedrigst möglichen Eigenwert bestimmen. Da der Operator ˆ† b der adjungierte Operator von ˆ b ist, gilt

Demzufolge ist der niedrigstmögliche Eigenwert n = 0 . Nach (10.22) muss dann für die entsprechende Eigenfunktion u (x) 0 gelten ˆbu (x) = 0 0 , d.h. wir erhalten folgende Differentialgleichung zur Bestimmung des Grundzustands u0(x)

Wir wählen den Ansatz  sx2 u0(x ) = e und erhalten für die Bestimmung der Konstanten s die Gleichung  2 1∕x 0 + 2s = 0 mit der Lösung  2 s = - 1∕2x0 . Damit ergibt sich

Die Konstante C ergibt sich aus der Normierungsbedingung

zu  -- C = (√ πx0)-1∕2 . Damit erhalten wir für den Grundzustand u0(x ) den folgenden Ausdruck (siehe Abb. 10.3)


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Abb. 10.3: Der Grundzustand des harmonischen Oszillators u0(x) als Funktion von x .


10.2.3 Berechnung der restlichen Eigenzustände

Zur Bestimmung der weiteren Eigenfunktionen un(x) zeigen wir zwei kleine Sätze.

Satz  10.1 Ist un (x ) Eigenfunktion von ˆn zum Eigenwert n , so ist ˆ bun(x) eine Eigenfunktion von ˆn zum Eigenwert n - 1 , d.h.  der Operator ˆ b erniedrigt den Eigenwert n um 1. Daher wird ˆb Vernichtungsoperator genannt. F ür die normierte Eigenfunktion un- 1(x) gilt

Beweis:

Wir wenden den Operator ˆ b auf die Eigenwertgleichung (10.20) an

Mit ˆn = ˆb†ˆb und (10.15) erhalten wir

Mit

folgt für die normierte Eigenfunktion un -1(x)

□

Der entsprechende Satz für den Operator ˆb† lautet:

Satz  10.2 Ist un(x) Eigenfunktion von nˆ zum Eigenwert n , so ist ˆ† bun (x ) eine Eigenfunktion von ˆn zum Eigenwert n + 1 , d.h.  der Operator  † ˆb erh öht den Eigenwert n um 1. Daher wird ˆb† Erzeugungsoperator genannt. F ür die normierte Eigenfunktion un+1(x) gilt

Beweis:

Wir wenden den Operator ˆb† auf die Eigenwertgleichung (10.20) an

Mit ˆn = ˆb†ˆb und (10.14) erhalten wir

Mit

folgt für die normierte Eigenfunktion un+1 (x)

□

Nach Satz 10.2 ergeben sich nun die Eigenfunktionen u (x ) n zu den Eigenwerten n = 1, 2, 3, ... durch Anwendung von ˆ† b auf u0(x)

Wir zeigen nun, dass wir damit alle Eigenfunktionen gefunden haben, d.h. wir beweisen den folgenden Satz:

Satz  10.3 Mit  ( ) u (x) = √1-- ˆb† nu (x) n n! 0 , n ∈ ℕ 0 , haben wir alle Eigenfunktionen des Operators ˆn gefunden.

Widerspruchsbeweis:

Wir nehmen an, dass ein Eigenwert n = m + α mit 0 < α < 1 und m ∈ ℕ existiert und zeigen, dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt. Die Eigenwertgleichung lautet

Mit (10.27) folgt

Dies steht im Widerspruch zur Positivität der Eigenwerte von ˆn .

□

10.2.4 Zusammenfassung der Lösung - Hermite-Polynome

Fassen wir die Abschnitte 10.2.2 und 10.2.3 zusammen:

Die Eigenfunktionen un (x) des Hamilton-Operators des harmonischen Oszillators lauten (siehe Abb. 10.4)

mit den Energieeigenwerten (siehe Tab. 10.1)

Insbesondere sind die Eigenfunktionen u (x) n reell und je grösser die Anzahl der Nullstellen der Eigenfunktionen ist, umso höher liegt der entsprechende Energieeigenwert. Diese Regel gilt allgemein bei eindimensionalen Problemen.


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Abb. 10.4: Die Eigenfunktionen un(x) des harmonischen Oszillators für die Quantenzahlen (a) n = 0 , (b) n = 1 , (c) n = 2 , (d) n = 3 , (e) n = 4 und (f) n = 5 als Funktion der Ortskoordinate x .


Die Eigenfunktionen un (x) lassen sich durch die sogenannten Hermite-Poly-nomeHn (x) ausdrücken (siehe Anhang I.1). Es gilt

wobei die Hermite-Polynome H (x) n gegeben sind durch (siehe Tab. 10.1)





n Hn (x) En



     
0 1 1ℏω 2
     
1 2x 3ℏω 2
     
2  2 4x - 2 5 2ℏω
     
3  3 8x - 12x 7 2ℏω
     
4  4 2 16x - 48x + 12 9 2ℏω
     
5 32x5 - 160x3 + 120x 112 ℏω
     
... ... ...
n (- 1)nex2 ∂nne-x2 ∂x ℏω (n + 1) 2



     

Tab. 10.1: Übersicht über die Hermite-Polynome H (x) n und die entsprechenden Energieeigenwerten En des harmonischen Oszillators.

10.2.5 Die Nullpunktsenergie

Die niedrigste Energie des harmonischen Oszillators ist klassisch E = 0 , quantenmechanisch E = ℏω∕2 , d.h. im Gegensatz zur klassischen Mechanik erhalten wir in der Quantenmechanik eine endliche Grundzustandsenergie, auch Nullpunktsenergie genannt. In diesem Abschnitt gehen wir nun genauer auf diese Nullpunktsenergie ein.

Wir bestimmen als erstes die Orts- und Impulsunschärfe Δx und Δp . Für den Erwartungswert ⟨x⟩ des Ortes erhalten wir

Demzufolge ergibt sich für die Ortsunschärfe Δx

Analog erhalten wir für den Erwartungswert des Impulses ⟨p⟩ und die Impulsunschärfe Δp

Damit erhalten wir im Grundzustand für die Orts- und Impulsunschärfe

Somit ist das Teilchen im Grundzustand nicht bei x = 0 lokalisiert, sondern ist über einen endlichen Bereich „verschmiert“, verbunden mit einem endlichen Impuls. Diesen Sachverhalt wird Nullpunktsschwankung genannt.

Wir leiten zusätzlich eine Ungleichung für die Nullpunktsenergie ausgehend von der Unschärferelation

her. Die Wellenfunktion werden wir dazu nicht explizit berechnen. Aus Symmetriegründen gilt für den Grundzustand ⟨x⟩ = ⟨p⟩ = 0 und somit

Damit erhalten wir für die Energie die folgende Ungleichung

Wir bestimmen das Minimum der rechten Seite der Ungleichung indem wir die Ableitung nach ⟨ 2⟩ p null setzen

Auflösen nach ⟨ 2⟩ p min ergibt

Damit lautet die Ungleichung für die Energie

Somit wird klar, dass die Nullpunktsenergie der kleinste Energiewert ist, der mit der Unschärferelation vereinbar ist.

10.2.6 Kohärente Zustände

Für die stationären Lösungen un(x) gilt nach (10.46) ⟨x⟩ = 0 , d.h. in diesen stationären Zuständen führt der harmonische Oszillator einzeln keine Oszillation aus. Sie haben daher insbesondere nichts mit der klassischen Oszillationsbewegung gemeinsam. Das Ziel ist es nun Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung zu bestimmen, die eine periodische Oszillation darstellen, d.h. Zustände in denen der Erwartungswert des Ortes nicht verschwindet, sondern bzgl. der Zeitabhängigkeit mit der klassischen Oszillationsbewegung übereinstimmt. Wir gehen dazu von den Eigenzuständen uα(x) des Vernichtungsoperators ˆ b aus

Wir entwickeln diese Zustände uα(x) nach den stationären Zuständen un (x) . Nach Abschnitt 9.5.7 erhalten wir

wobei für die Entwicklungskoeffizienten cn mit (9.278), (10.38), (10.58) und der Eigenschaft, dass ˆ b der adjungierte Operator von ˆ† b ist, gilt

Damit folgt

Die Konstante C ergibt sich aus der Normierungsbedingung

Damit erhalten wir

Einsetzen in (10.61) liefert für die Zustände uα(x) die folgende Entwicklung

Die Zustände ψα (x, t) erhalten wir durch die Zeitentwicklung der stationären Zustände un (x )

Mit En = ℏω(n + 1∕2) ergibt sich

Die Zustände ψα(x,t) werden kohärenteZustände1 genannt und sind Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Für den Erwartungswert ⟨x⟩ ergibt sich mit α ≡ |α |eiδ

D.h. der Erwartungswert des Ortes führt eine periodische Oszillation aus. Wir haben also mit diesen kohärenten Zuständen, Zustände des harmonischen Oszillators gefunden, in denen der Erwartungswert des Ortes die selbe Zeitabhängigkeit wie die klassische Schwingung zeigt.

10.3 Vergleich zwischen klassischem und quantenmechanischem harmonischen Oszillator


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Abb. 10.5: Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit |u (x)|2 n (rot gepunktete Linie) und die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl (x ) (blaue durchgezogene Linie) als Funktion der Ortskoordinate x für die Quantenzahlen (a) n = 5 und (b) n = 20 . Die schwarz gestrichelten Linien markieren die klassischen Umkehrpunkte bei x = �q0 .


Zum Abschluss dieses Kapitels vergleichen wir den quantenmechanischen mit dem klassischen harmonischen Oszillator. Die klassische Bewegung ist beschrieben durch

wobei q0 die Amplitude der Schwingung bezeichnet. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x)dx das Teilchen im Intervall [x,x + dx] anzutreffen, ist gegeben durch

wobei dt die Aufenthaltsdauer in dx und T = 2π∕ω die Periode ist. Mit (10.68) erhalten wir für dx den Ausdruck

Einsetzen in (10.70) ergibt

Abb. 10.5 zeigt die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit |u (x)|2 n für die Quantenzahlen n = 5 und n = 20 zusammen mit der entsprechenden klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x) : Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x) nimmt gegen die Umkehrpunkte x = �q0 monoton zu (da sie umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit ist). Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit  2 |un(x)| oszilliert, wobei die Höhe der Maxima gegen die klassische Umkehrpunkte zunimmt. Quantenmechanisch existiert zusätzlich eine endliche Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten x = �q 0 anzutreffen. Für sehr hohe Quantenzahlen n nähert sich die quantenmechanische der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Die Oszillationen werden immer schwächer und die Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten x = �q0 anzutreffen sinkt.

10.4 Zusammenfassung

  • In der Natur gibt es sehr viele physikalische Systeme, die in guter Näherung durch das Modell des harmonischen Oszillators beschrieben werden können. Jedes solche System führt eine Oszillation um eine Ruhelage, bewirkt durch eine lineare Rückstellkraft, aus, wobei die Oszillatorfrequenz für genügend kleine Auslenkungen unabhängig von der Amplitude ist.
  • Ein typisches Beispiel ist das Federpendel, bei dem ein Teilchen der Masse m an einer Feder mit Federkonstante k befestigt ist und Oszillationen um die Ruhelage x = 0 ausführt. Die klassische Bewegungsgleichung eines solchen Teilchens lautet m ∂2x∕∂t2 + kx = 0 mit der Lösung x (t) = A sin(ωt + ϕ) , wobei  ∘ ----- ω = k∕m die Kreisfrequenz, A die Amplitude und ϕ die Phase bezeichnen.
  • Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator lautet

    Daraus folgen die Eigenzustände

    wobei  ∘ ------ x0 = ℏ∕ωm und die Energieeigenwerte

  • Die niedrigste Energie des harmonischen Oszillators ist klassisch E = 0 , quantenmechanisch E = ℏ ω∕2 , d.h. im Gegensatz zur klassischen Mechanik erhalten wir in der Quantenmechanik eine endliche Grundzustandsenergie, auch Nullpunktsenergie genannt. Grund dafür sind sogenannte Nullpunktsschwankungen, d.h. das Teilchen ist im Grundzustand nicht bei x = 0 lokalisiert, sondern über einen endlichen Bereich „verschmiert“, verbunden mit einem endlichen Impuls. Zudem ist die Nullpunktsenergie der kleinste Energiewert, der mit der Unschärferelation vereinbar ist.
  • Für die stationären Lösungen un(x) gilt ⟨x⟩ = 0 , d.h. in diesen stationären Zuständen führt der harmonische Oszillator einzeln keine Oszillation aus. Sie haben daher insbesondere nichts mit der klassischen Oszillationsbewegung gemeinsam. Es lassen sich jedoch sogenannte kohärente Zustände ψ α(x,t) finden, in denen Erwartungswert des Orts eine periodische Oszillation ausführt und somit die selbe Zeitabhängigkeit wie die klassische Schwingung zeigt.
  • Der Unterschied zwischen klassischem und quantenmechanischem Oszillator kommt am besten aus dem Verlgleich der entsprechenden Aufenthaltswahrscheinlichkeiten hervor: Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit nimmt gegen die Umkehrpunkte monoton zu. Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit oszilliert, wobei die Höhe der Maxima gegen die klassische Umkehrpunkte zunimmt. Quantenmechanisch existiert zusätzlich eine endliche Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten anzutreffen. Für sehr hohe Quantenzahlen n nähert sich die quantenmechanische der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit an.