Kapitel 9
Grundlagen der Quantenmechanik

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir uns mit physikalischen Situationen und experimentellen Ergebnissen auseinandergesetzt, bei denen die klassische Physik nicht mehr ausreicht, um die beobachteten Phänomene befriedigend zu erklären. Diese Problematik motivierte die Einführung der Quantenmechanik. In Kapitel 8 haben wir z.B. erkannt, dass das Bohrsche Atommodell grundlegende Eigenschaften der Spektren von Atomen mit einem Elektron mit Hilfe semiklassischer Annahmen, die auf der Beschreibung der Eigenschaften von Teilchen durch Materiewellen beruhen, erklären kann. Um ein detailliertes physikalisches Verständnis von Atomen in elektromagnetischen Feldern oder Atomen mit mehreren Elektronen zu erlangen, erkannte man am Anfang des letzten Jahrhunderts schnell, dass eine vollständig neue Theorie, die heute als Quantenmechanik bekannt ist, benötigt werden würde.

Historisch gesehen wurden die Grundlagen der Quantenmechanik in den Jahren 1925 und 1926 mit Hilfe wichtiger Beiträge bekannter Physiker wie Erwin Schrödinger1 , Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac und anderer entwickelt. Das grundlegende Ziel war eine Theorie zu entwickeln, die die Welleneigenschaften von Teilchen korrekt beschreibt. Schon bis in die 1930er Jahre, kurz nach ihrer Entwicklung, konnten eine grosse Anzahl von Beobachtungen und Experimenten in der Physik und auch der Chemie durch diese neue Theorie erklärt werden.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit den wichtigen Aspekten des Formalismus der Quantenmechanik. Die Theorie basiert auf einigen wenigen grundlegenden Postulaten, mit deren Hilfe alle Beobachtungen von quantenmechanischen Phänomenen in der Natur korrekt beschrieben werden können. Bis heute hat noch kein Experiment den Vorhersagen der Quantenmechanik widersprochen.

Hier führen wir in die Grundlagen der Quantenmechanik basierend auf der Wellenmechanik von de Broglie ein (siehe Kapitel 6). Wir werden uns dabei zunächst auf die quantenmechanischen Eigenschaften der Dynamik einzelner Teilchen (Massepunkte) in einer Dimension, beschrieben durch die Ortskoordinate x und den Impuls p , beschränken. Dabei soll jedoch darauf hingewiesen werden, dass die Postulate und hergeleiteten Sätze auch für drei Dimensionen gelten.

9.1 Das erste Postulat: Wellenfunktionen

Zur Formulierung des ersten Postulats der Quantenmechanik benötigen wir die folgende Definition:

Definition  9.1 Eine Funktion f (x,t) heisst quadratisch integrabel , falls gilt

wobei  * f (x,t) die komplex konjugierte Funktion von f(x,t) bezeichnet. Der Raum aller quadratisch integrablen Funktionen wird mit  2 L bezeichnet.

Postulat  1 Zu einem Teilchen (Massepunkt) geh ört eine eindeutige, quadratisch integrable, im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion ψ (x,t) . Sie beschreibt den Zustand des Teilchens. Dabei gibt ψ*(x,t)ψ (x,t)dx die Wahrscheinlichkeit an das Teilchen zur Zeit t zwischen x und x + dx anzutreffen. Die Gr össe ψ*(x,t)ψ (x,t) wird daher als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.

Wir diskutieren zunächst einige wichtige Aspekte dieses Postulats. Da die Wellenfunktion quadratisch integrabel ist, kann sie normiert werden. Dazu ziehen wir die Bedingung heran, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t irgendwo auf der x-Achse anzutreffen 100% ist. Daher lautet die Normierungsbedingung

Weiter gilt nach dem Postulat 1, dass der Zustand des Teilchens durch die Wellenfunktion ψ(x,t) bestimmt ist. Somit sind alle Informationen über die quantenmechanischen Eigenschaften eines Teilchens in ψ (x,t) enthalten. Experimentell erfassbare Grössen werden in der Quantenmechanik durch Erwartungswerte charakterisiert. Nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt folgende Definition.

Definition  9.2 Der Erwartungswert einer Funktion f(x,t) , die eine gegebene physikalische Messgr össe beschreibt, ist f ür einen bestimmten Zeitpunkt t gegeben durch

Dabei ist zu beachten, dass die instruktive Umformung in der zweiten Zeile nur dann gilt, wenn die Funktion f(x,t) reelle oder komplexe Werte annimmt. Handelt es sich bei der Funktion um einen sogenannten Operator, so ist  ( 9.3 ) in der gegebenen Form explizit zu verwenden, wie wir in Abschnitt   9.3 einsehen werden. Beispiele f ür Funktionen f(x,t) sind die Ortskoordinate x(t) des Teilchens oder seine potentielle Energie V(x,t) .

9.1.1 Beispiel: Teilchen im Potentialtopf

Zur Veranschaulichung des ersten Postulats betrachten wir ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf (siehe Abb. 9.1).


PIC

Abb. 9.1: Das Potential V (x) in Abhängigkeit von x für ein Teilchen im Potentialtopf. Unendlich hohe Potentialbarrieren beschränken das Teilchen auf den Bereich 0 < x < L .


D.h. die Bewegung des Teilchens entlang der x-Richtung ist durch harte Wände an den Positionen x = 0 und x = L eingeschränkt. Damit sind die Gebiete x < 0 und x > L für das Teilchen nicht erreichbar. Diese Tatsache wird durch das folgende Potential V (x) beschrieben

Wir betrachten das Teilchen nun als Materiewelle. Im Bereich 0 ≤ x ≤ L kann sich das Teilchen frei bewegen. Daher setzen wir für die Wellenfunktion ψ (x,t) , die den Zustand des Teilchens in diesem Bereich beschreibt, die Wellenfunktion für ein freies Teilchen an. Nach (6.17) gilt

Klassisch gesehen besteht für ein freies Teilchen zwischen der Energie E und dem Impuls p die folgende Beziehung

D.h. bei konstanter Energie E kann der Impuls p in einer Dimension zwei mögliche Werte annehmen, die einer Bewegung des Teilchens entlang der positiven oder negative Koordinatenachse entspricht. Wir erweitern daher unseren Ansatz zu einer Superposition von einer nach rechts und einer nach links laufenden Materiewelle

Nun berücksichtigen wir, dass die freie Bewegung des Teilchens auf den Bereich 0 ≤ x ≤ L beschränkt ist. D.h. die betrachtete Wellenfunktion muss folgenden Randbedingungen genügen

Aus ψ (0,t) = 0 folgt A + B = 0 . Damit erhalten wir

Aus ψ (L,t) = 0 folgt sin(pL∕ℏ ) = 0 und damit pL ∕ℏ = nπ mit n ∈ ℕ . Woraus wir die Bedingung erhalten, dass der Impuls p und damit die Energie E des Teilchens im Potentialtopf nur diskrete Werte En annehmen kann

Hier erkennen wir, dass die Beschreibung eines Teilchens in einem Potentialtopf als Materiewelle auf natürliche Art und Weise zu einer diskreten Abfolge von möglichen Energiewerten des Teilchens, also zu einer Quantisierung, führt.

Die Wellenfunktion ψn (x,t) zur Energie En nimmt damit die folgende Form an

Zur Bestimmung der Konstanten A ziehen wir nun die Normierungsbedingung (9.2) heran. Wir erhalten

Daraus ergibt sich  ∘ ------- A = 1∕(2L) und somit für die Wellenfunktion ψn(x,t) zur Energie En für das Teilchen im Potentialtopf das folgende Resultat (siehe Abb. 9.2)


PIC

Abb. 9.2: Die Wellenfunktionen ψn(x,t) und die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten |ψn (x, t)|2 für die Zustände n = 1,2,3 für ein Teilchen im Potentialtopf.


Ein Potentialtopf, wie wir ihn hier besprochen haben, ist ein gutes Modell für die Energieniveaus von Elektronen in sogenannten Quantenpunkten (quantum dots). Die Elektronen in Quantenpunkten sind in ihrer Beweglichkeit in allen drei Raumrichtungen eingeschränkt. Realisiert werden Quantenpunkte in sogenannten Nanostrukturen, welche grösstenteils aus verschiedenen Halbleitermaterialien aufgebaut sind.

9.1.2 Darstellung der Wellenfunktion im Impulsraum

Bisher haben wir die Wellenfunktion als eine Funktion der Ortsvariablen x betrachtet. Wir haben also die sogenannte Ortsraumdarstellung gewählt. Anstelle der Ortskoordinate x kann jedoch auch der entsprechende Impuls p als Variable eingeführt werden. Man postuliert dann eine weitere, ebenfalls eindeutige, quadratisch integrable, im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion ϕ(p,t) , die den Zustand des Teilchens im folgenden Sinn beschreibt: ϕ*(p,t)ϕ(p,t)dp ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen zur Zeit t einen Impuls zwischen p und p + dp besitzt.

Auch für diese Wellenfunktion gilt eine Normierungsbedingung

Wir können auch hier für eine Funktion g(p,t) , die sich aufs Teilchen bezieht, den entsprechenden Erwartungswert definieren.

Definition  9.3 Der Erwartungswert einer Funktion g(p,t) ist f ür einen bestimmten Zeitpunkt t gegeben durch

Hier gelten die selben Einschr änkungen wie wir sie bereits f ür die Wellenfunktionen im Ortsraum diskutiert haben. Beispiele f ür die Funktion g(p,t) sind der Impuls p(t) des Teilchens oder seine kinetische Energie  2 Ekin = p ∕(2m ) .

Nun untersuchen wir, welcher Zusammenhang zwischen der Wellenfunktion ψ (x,t) im Ortsraum und der Wellenfunktion ϕ(p,t) im Impulsraum besteht. Wir betrachten dazu ein Teilchen mit konstanter Gesamtenergie E = ℏ ω , z.B. ein Teilchen, das sich mit konstanter kinetischer Energie in einem konstanten Potential V (x) bewegt. Der Zustand wird durch ein entsprechendes Wellenpaket ψ (x, t) beschrieben (siehe Abschnitt 6.4)

Dabei ist A (k) durch die entsprechende Fourier-Transformierte gegeben

Mit der de Broglie-Beziehung p = ℏk folgt damit, dass auch die Wellenfunktionen im Orts- bzw. Impulsraum ψ (x,t) und ϕ(p,t) durch eine Fourier-Transformation miteinander verbunden sind. Es gilt

9.2 Die Heisenbergsche Unschärferelation

In der klassischen Mechanik sind die Eigenschaften eines Teilchens, wie zum Beispiel sein Ort x und sein Impuls p , gleichzeitig beliebig genau bestimmt. Diese Eigenschaften lassen sich im Prinzip mit beliebiger, nur durch die Messapparatur begrenzter, Genauigkeit in einer Messung bestimmen.

Im Gegensatz dazu ist eine charakteristische Eigenschaft der Quantenmechanik, dass der Ort x und der Impuls p eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt sind. Versucht man zum Beispiel x und p gleichzeitig zu messen, so gilt, dass das Produkt der Standardabweichungen der Messresultate für Ort und Impuls immer grösser ist als eine Konstante, die durch die Quantenmechanik bestimmt ist. Diese Eigenschaft der Quantenmechanik wird als Heisenbergsche Unschärferelation bezeichnet.

Diese Unschärferelation gilt nicht nur für Ort und Impuls eines Teilchens sondern auch für andere Grössen, wie z.B. Energie und Zeit oder die Komponenten des Bahndrehimpulses in drei Dimensionen, wie wir später kennen lernen werden.

Bevor wir uns der Einbettung der Unschärferelation in die Wellenmechanik zuwenden, betrachten wir als Illustration die Beugung einer Materiewelle am Spalt.

9.2.1 Beispiel: Beugung einer Materiewelle am Spalt

Im betrachteten Versuch (siehe Abb. 9.3) bewegt sich ein Teilchenstrom von links auf einen Spalt der Breite Δx zu.


PIC

Abb. 9.3: Die Beugung einer Materiewelle am Spalt. Auf die einzelnen Bestandteile und Beschriftungen der Versuchsanordnung wird im Text eingegangen.


Der Spalt sei bei z = 0 positioniert. Vor dem Spalt, d.h. für z < 0 , kennt man die x-Koordinate des Teilchens nicht, dafür ist die Impulskomponente px genau bekannt. Trifft nun dieser Teilchenstrahl auf den Spalt, so erfolgt eine Selektion der Teilchen. Die x-Koordinate ist dann bis auf die Unschärfe Δx bekannt. Jedoch gibt es durch die Beugung am Spalt Teilchen, die unter einem nicht verschwindenden Winkel φ auslaufen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich aus der Beugung der Materiewelle (de Broglie-Welle). Die meisten Teilchen treffen in den Winkelbereich

Damit kann die in Abb. 9.3 eingezeichnete Grösse Δpx als Unschärfe der Impulskomponente px aufgefasst werden. Es gilt dabei der folgende Zusammenhang

Mit der de Broglie-Beziehung λ = h∕p erhalten wir

Berücksichtigt man die Tatsache, dass einige Teilchen auch in die Nebenmaxima fallen, so wird aus der Gleichung eine Ungleichung

Diese Ungleichung besagt, dass die Ortskoordinate x und die Impulskomponente px gleichzeitig nicht beliebig genau bestimmbar sind.

In diesem Abschnitt haben wir den Begriff der Unschärfe anhand eines Beispiels eingeführt. Nun wenden wir uns der formalen Berechnung der Unschärferelation eines Teilchens im Rahmen der Wellenmechanik zu.

9.2.2 Definition Unschärfe

Definition  9.4 Entsprechend den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Unsch ärfe Δf einer Gr össe f bestimmt durch die Standardabweichung, die durch die Wurzel des Erwartungswerts der Quadrate der Abweichungen vom Erwartungswert gegeben ist

Wir wenden diese Definition 9.4 auf ein Teilchen an, dessen Zustand durch eine reelle Wellenfunktion ψ(x) beschrieben ist (für genaue Ausführungen der folgenden Berechnungen verweisen wir auf Anhang A). ψ(x,t) ist so beschaffen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ (x,t)|2 des Teilchens einer Gauss-Verteilung entspricht

und somit ein Wellenpaket der charakteristischen Breite a formt. Diese Funktion ist normiert, d.h. es gilt

Für den Erwartungswert ⟨x ⟩ der Ortskoordinate erhalten wir

d.h. ψ(x,t) beschreibt ein Teilchen, das sich im Mittel bei x = 0 aufhält. Damit ergibt sich für die Unschärfe Δx der Ortskoordinate

Δx entspricht also gerade der Breite der Gauss-Verteilung.

Um die Eigenschaften der Impulsverteilung des Teilchens zu bestimmen, berechnen wir die Wellenfunktion ϕ(p,t) in der Impulsraumdarstellung. Mit Hilfe der Fourier-Transformation (9.20) erhalten wir

Die Ausführung der Integration liefert

Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichte |ϕ(p,t)|2 im Impulsraum

Der Erwartungswert ⟨p⟩ nimmt den Wert

an, d.h. das Teilchen hat einen verschwindenden mittleren Impuls. Gleichzeitig ergibt sich eine Impulsunschärfe Δp von

Mit (9.30) erhalten wir daraus für die Unschärferelation eines Gaussschen Wellenpakets

Das Gausssche Wellenpaket erfüllt somit gerade die minimale Unschärferelation (siehe Abschnitt 9.2.3).

9.2.3 Formulierung nach Heisenberg

Nachdem wir zwei Beispiele zur Unschärferelation betrachtet haben, kommen wir zur Formulierung der Unschärferelation nach Heisenberg, wie sie 1927 aufgestellt wurde. Wir schreiben sie hier für die Ortskoordinate x und die Impulskomponente px

Für die allgemeine Formulierung und die Herleitung sei auf Anhang B oder weiterführende Literatur [11] verwiesen.

Wir erwähnen hier noch eine weitere Form der Heisenbergschen Unschärferelation, die sogenannte Energie-Zeit-Unschärferelation. Es gilt

Die Formulierung (9.38) sagt aus, dass die Energie E eines Systems, welches für die Zeitspanne Δt existiert, z.B. ein Atom dessen Lebensdauer im angeregten Zustand durch Δt gegeben ist, nur auf ΔE genau bestimmt ist. Diese Relation legt zum Beispiel die Breite von spektralen Linien eines atomaren Übergangs im Verhältnis zur Lebensdauer des angeregten Zustands des Atoms fest.

9.3 Operatoren

Operatoren spielen in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle. Denn jede physikalische Grösse f wird durch einen entsprechenden Operator ˆf dargestellt. Die Bedeutung von Operatoren im Rahmen der Quantenmechanik, besprechen wir in diesem Abschnitt.

9.3.1 Erwartungswerte von Ortskoordinate und Impuls

Der Erwartungswert des Impulses in der Ortsraumdarstellung

Wir beginnen mit einer Diskussion der Frage, wie sich der Erwartungswert des Impulses in der Ortsraumdarstellung berechnen lässt.

Wenn wir den Zustand des Teilchens durch die Wellenfunktion ϕ(p,t) im Impulsraum beschreiben, so lässt sich der Erwartungswert des Impulses ⟨p⟩ einfach als Mittelwert von p zur Wellenfunktion ϕ(p,t) berechnen

Wenn der Zustand des Teilchens aber durch die Wellenfunktion ψ (x, t) im Ortsraum beschrieben wird, so muss folgender Erwartungswert

berechnet werden.

Hier stellt sich nun die Frage in welchem Zusammenhang der Impuls p des Teilchens mit der Wellenfunktion ψ(x,t) steht. Zur Lösung des Problems gehen wir von der Impulsraumdarstellung aus und gehen dann durch die Fourier-Transformation auf die Ortsraumdarstellung über. In einem ersten Schritt setzen wir für ϕ (p,t) in (9.39) die Fourier-Transformierte ein

Wir schreiben das Integral über x mittels partieller Integration um

Der erste Summand verschwindet, da ψ(x,t) quadratisch integrabel (normierbar) ist und somit insbesondere im Unendlichen gegen null strebt. Einsetzen in (9.41) und Umformen liefert

Wir kommen somit zu folgendem Schluss:

In der Ortsraumdarstellung, in der der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion ψ(x,t) beschrieben ist, wird der Erwartungswert des Impulses p berechnet, indem man in (9.40) den Impuls p durch den Impulsoperator

ersetzt.

Der Erwartungswert der Ortskoordinate in der Impulsraumdarstellung

Analog können wir nun auch den Erwartungswert der Ortskoordinate x in der Impulsraumdarstellung berechnen. Wir gehen hier entsprechend von der Ortsraumdarstellung aus und wechseln mittels Fourier-Transformation in die Impulsraumdarstellung

Partielle Integration für das Integral über p liefert

Der erste Summand verschwindet, da auch ϕ(p,t) quadratisch integrabel (normierbar) ist und somit insbesondere im Unendlichen gegen null strebt. Einsetzen in (9.45) und Umformen liefert

Wir fassen zusammen:

In der Impulsraumdarstellung, in der der Zustand eines Teilchens durch die Wellenfunktion ϕ(p,t) beschrieben ist, wird der Erwartungswert der Ortskoordinate x berechnet, indem man die Ortskoordinate x in

durch den Ortsoperator

ersetzt.

In der Ortsraumdarstellung ist der Ortsoperator ˆx trivialerweise der Faktor x und in der Impulsraumdarstellung ist der Impulsoperator ˆp trivialerweise der Faktor p . In Tab. 9.1 sind die Berechnungen für die Erwartungswerte für die Ortskoordinate x und den Impuls p für die Orts- und Impulsraumdarstellung zusammengefasst. Es ist zu bemerken, dass die Operatoren jeweils auf die nachfolgende Funktion wirken und daher die Reihenfolge der Faktoren von entscheidender Bedeutung ist.




Ortsraumdarstellung Impulsraumdarstellung


   
⟨x⟩ = ∫ ∞ ψ*(x,t)xψ(x,t)dx - ∞ ⟨x⟩ = ∫∞ ϕ*(p,t)iℏ ∂ϕ (p,t)dp -∞ ∂p
 ∫ ∞ * ℏ∂- ⟨p⟩ = -∞ ψ (x,t)i∂xψ(x,t)dx  ∫∞ * ⟨p⟩ = -∞ ϕ (p,t)pϕ(p,t)dp


   

Tab. 9.1: Berechnungen der Erwartungswerte für die Ortskoordinate x und den Impuls p in Orts- und Impulsraumdarstellung.

Der Erwartungswert von Potenzen der Ortskoordinate und des Impulses

Entsprechend zu den vorangegangenen Berechnungen in diesem Abschnitt kön-nen auch die Erwartungswerte von Potenzen der Ortskoordinate x und des Impulses p berechnet werden. Es ergibt sich für den Erwartungswert von Potenzen von p in der Ortsraumdarstellung

und entsprechend für den Erwartungswert von Potenzen von x in der Impulsraumdarstellung

9.3.2 Weitere wichtige Operatoren in Ortsraumdarstellung

Bei der Betrachtung von weiteren Beispielen von Operatoren beschränken wir uns auf die Ortsraumdarstellung.

Der Ortsoperator in 3D

Wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, ist der Ortsoperator ˆx in Ortsraumdarstellung gleich dem Faktor x . Entsprechend gilt in drei Dimensionen für den Ortsoperator ˆ ⃗r die folgende einfache Darstellung

Der Impulsoperator in 3D

Beschreiben wir die Bewegung eines Teilchens im dreidimensionalen Raum in kartesischen Koordinaten, dann ist jeder Impulskomponente ein Operator zugeordnet. Nach (9.44) gilt für die Operatoren ˆp x , ˆp y und ˆp z der Impulskomponenten

Dem Impulsvektor ⃗p = (px,py,pz) ist also ein Impulsoperator ˆ⃗p = (ˆpx,p ˆy,pˆz) zugeordnet. Wenn man ihn auf eine Wellenfunktion anwendet, so resultiert ein Vektor.

Die Erwartungswerte der Impulskomponenten px , py und pz lassen sich berechnen durch

Der Hamilton-Operator

Aus der klassischen Mechanik ist die Hamilton-Funktion H bekannt. Sie entspricht der Gesamtenergie E eines Systems ausgedrückt als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten qk und der dazu kanonisch konjugierten Impulse pk . Der Hamilton-Operator ˆ H ist die zugehörige quantenmechanische Grösse.

Wir betrachten als Beispiel die Bewegung eines Teilchens der Masse m mit den kartesischen Koordinaten x , y und z im Potential V(x,y,z,t) . Die konjugierten Impulse sind demzufolge die kartesischen Impulskomponenten p x , p y und p z . Wir beschränken uns hier auf eine nichtrelativistische Betrachtung. Klassisch gelten die folgenden Beziehungen

Damit lässt sich die kinetische Energie Ekin schreiben als

Die entsprechende Hamilton-Funktion H lautet somit

Den entsprechenden Hamilton-Operator Hˆ in Ortsraumdarstellung erhalten wir, indem wir die Impulskomponenten p x , p y und p z durch die entsprechenden Impulsoperatoren ˆpx , pˆy und ˆpz in Ortsraumdarstellung ersetzen. Mit (9.53), (9.54) und (9.55) ergibt sich somit für den Hamilton-Operator ˆ H

wobei Δ den Laplace-Operator bezeichnet. Die potentielle Energie V (x,y,z,t) ist kein Differentialoperator, da sie die Impulskomponenten nicht enthält. Sie wirkt als Faktor.

Der Erwartungswert der Hamilton-Funktion H ist gegeben durch

Der Bahndrehimpulsoperator

Der (klassische) Bahndrehimpulsvektor L⃗ eines Teilchens bzgl. des Ursprungs ist definiert als

wobei ⃗r den Ortsvektor und ⃗p den Impulsvektor bezeichnen. Zum Bahndrehimpulsoperator gelangen wir nun, indem wir für jede Impulskomponente den entsprechenden Operator einsetzen. Die Ortskoordinaten bleiben als Faktoren stehen, da wir in der Ortsraumdarstellung rechnen. Es gilt

Beim Wasserstoffatom bewegt sich das Elektron im Zentralpotential des Kerns (siehe Kapitel 11). Es zeigt sich, dass diese Bewegung eines Teilchens im Zentralpotential einfachheitshalber in Kugelkoordinaten behandelt wird. Aus diesem Grund geben wir hier den Bahndrehimpulsoperator zusätzlich auch in Kugelkoordinaten an. Man erhält für den Bahndrehimpulsoperator ˆ⃗ L in Kugelkoordinaten

Wir beweisen die Richtigkeit dieses Ausdrucks indem wir auf die kartesischen Koordinaten zurückrechnen. Die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten lautet (siehe Abb. 9.4)


PIC

Abb. 9.4: Illustration des Zusammenhangs zwischen den kartesischen Koordinaten x , y , z und den Kugelkoordinaten r , φ , ϑ .


  • Für die Anwendung von ˆLx auf ψ = ψ (x, y,z,t) erhalten wir

  • Für die y-Komponente des Bahndrehimpulsoperators Lˆ y gilt

  • Für die z-Komponente des Bahndrehimpulsoperators ˆ Lz gilt

Diese Ausdrücke stimmen mit (9.67) überein, womit die Richtigkeit von (9.68) bewiesen ist.

Bemerkung

Das Plancksche Wirkungsquantum ℏ hat die Dimension des Bahndrehimpulses. In der Quantenmechanik wird deshalb der Bahndrehimpuls oft in Einheiten von ℏ angegeben, sodass in den Formeln für den Bahndrehimpuls der Faktor ℏ entfällt.

9.3.3 Eigenschaften von Operatoren in der Quantenmechanik

Wir haben bisher an diversen Beispielen erörtert, wie eine physikalische Grösse f in der Quantenmechanik durch einen entsprechenden Operator fˆ dargestellt wird. In Tab. 9.2 sind die kennengelernten Operatoren in der Ortsraumdarstellung nochmals zusammengefasst. Wir definieren nun zum Abschluss dieses Abschnitts allgemein was man unter einem Operator in der Quantenmechanik versteht und gehen auf seine Eigenschaften ein.





Physikalische Grösse klassisch Operator



     
Ortsvektor  ( x ) ⃗r = ( y ) z  ( x) ˆ⃗r = ( y) z
     
Impulsvektor  ( ) px ⃗p = ( py) pz  ( ∂-) ∂∂x ˆ⃗p = ℏi ( ∂y) ∂∂z
     
Hamilton-Funktion H = E = -p2+ V (x,y,z) 2m ˆH = - ℏ2-Δ + V (x,y,z ) 2m
     
Bahndrehimpulsvektor  ( ) ypz - zpy ⃗L = ( zpx - xpz ) xpy - ypx  ( ∂- -∂ ) ˆ | y ∂z - z∂y | ⃗L = ℏi( z∂∂x - x∂∂z ) x ∂∂y-- y∂∂x



     

Tab. 9.2: Quantenmechanische Operatoren in der Ortsraumdarstellung zu verschiedenen physikalischen Grössen.

Definition  9.5 Ein quantenmechanischer Operator ˆF ist definiert durch die Bedingung, dass f ür eine Funktion ψ(x,t) ∈ L2 gilt

Dabei bezeichnet  2 L den Raum der quadratisch integrablen Funktionen (siehe Definition   9.1 ).

Quantenmechanische Operatoren besitzten folgende Eigenschaften:

  • Linearit ät

    Eine erste Eigenschaft quantenmechanischer Operatoren ist die Linearität:

    Definition  9.6 Sei ˆF ein Operator, so heisst ˆF linear falls gilt

  • Distributivgesetz

    Quantenmechanische Operatoren erfüllen zudem das Distributivgesetz.

    Definition  9.7 Seien ˆ F und ˆ G zwei Operatoren, so lautet das Distributivgesetz

  • Assoziativgesetz

    Quantenmechanische Operatoren erfüllen ebenfalls das Assoziativgesetz.

    Definition  9.8 Seien ˆF und ˆG zwei Operatoren, so lautet das Assoziativgesetz

  • Kommutativgesetz

    Quantenmechanische Operatoren kommutieren im Allgemeinen nicht. Bevor wir die Definition des Kommutativgesetzes angeben, führen wir den Begriff des Kommutators ein.

    Definition  9.9 Seien  ˆ F und  ˆ G zwei Operatoren, so ist der Kommutator [Fˆ, ˆG] definiert als

    Mit Hilfe dieser Definition 9.9 formulieren wir das Kommutativgesetz.

    Definition  9.10 Zwei Operatoren ˆF und ˆG kommutieren falls der entsprechende Kommutator verschwindet, d.h.

    Ist der Kommutator ungleich null, so kommutieren die beiden Operatoren nicht.

    Wir betrachten dazu einige Beispiele. Als erstes betrachten wir die zu den Funktionen xpx und pxx gehörenden Operatoren xˆˆpx und pˆxxˆ in der Ortsraumdarstellung. Anwendung auf ψ = ψ (x,y, z,t) ergibt

    Damit folgt

    Diese Gleichung gilt unabhängig von der Wellenfunktion ψ , auf welche die Operatoren wirken. D.h. für den Kommutator der beiden Operatoren ˆx und pˆ x gilt

    In diesem Beispiel verschwindet der Kommutator nicht, d.h. die beiden Operatoren ˆx und ˆpx kommutieren nicht. Es sei bemerkt, dass die Operatorgleichung (9.85) ganz allgemein für kanonisch konjugierte Variablen gilt.

    Im Gegensatz gibt es auch Operatoren, deren Kommutator verschwindet. Zum Beispiel gilt für die Anwendung der Operatoren ˆx und ˆpy auf die Wellenfunktion ψ = ψ (x,y,z,t) in der Ortsraumdarstellung

    Das Nichtverschwinden eines Kommutators hat (wie wir in Abschnitt 9.5.4 präzisieren und beweisen werden) folgende Bedeutung: Die Erwartungswerte nicht kommutierender Operatoren können nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden.

    Diese Eigenschaft ist, wie wir auch im Zusammenhang mit der Heisenbergschen Unschärferelation (siehe Abschnitt 9.2) gesehen haben, ein wichtiger Aspekt der Quantenmechanik. In der klassischen Physik beobachten wir dieses Phänomen nie: Klassische Messgrössen kommutieren immer und sind dementsprechend gleichzeitig beliebig genau bestimmbar. Es fällt jedoch auf, dass der Kommutator der Operatoren ˆx und pˆx für ℏ → 0 verschwindet. In diesem Grenzfall können dann x und px beliebig genau bestimmt werden. In diesem Grenzfall strebt auch die de Broglie-Wellenlänge λ = h∕p gegen null, so dass keine Beugungserscheinungen mehr auftreten. Insbesondere verschwindet auch die rechte Seite der Heisenbergschen Unschärferelation (9.37). Aus diesen Gründen kann die klassische Mechanik als Grenzfall der Quantenmechanik für ℏ → 0 betrachtet werden.

    Am Beispiel der verschiedenen Komponenten des Bahndrehimpulses zeigt sich, dass nicht nur Operatoren, die kanonisch konjugierten Variablen entsprechen, nicht kommutieren. Für die Anwendung des Kommutators der Operatoren  ˆ Lx und ˆ Ly auf die Wellenfunktion ψ = ψ(x,y,z,t) erhält man

    Analog ergibt sich

    Dies bedeutet, dass es nicht möglich ist, dass zwei verschiedene Komponenten des Bahndrehimpulses gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können.

  • Reelle Erwartungswerte

    Operatoren in der Quantenmechanik haben reelle Erwartungswerte, da physikalisch messbare Grössen, sogenannte Observable2 , reell sind. Beispiele für Observable sind Ortskoordinaten, Impuls, Bahndrehimpuls, Energie oder allgemein reelle Funktionen von Orts- und Impulskoordinaten.

    Ein Operator  ˆ F , der einer Observablen F(x,p) entspricht, muss demzufolge folgende Bedingung erfüllen

    d.h. der Erwartungswert muss gleich seinem konjugiert Komplexen sein. Für den Operator  ˆ F gilt daher

    Operatoren, die diese Bedingung erfüllen, werden nach Charles Hermite hermitesche oder selbstadjungierte Operatoren genannt. Es ergibt sich also folgende Schlussfolgerung:

Jeder Observablen F entspricht ein hermitescher Operator Fˆ .

  • Als Beispiel betrachten wir den Impulsoperator ˆp x zur Observablen p x und zeigen, dass ˆpx hermitesch ist. Es gilt

    womit gezeigt ist, dass der Impulsoperator ˆpx hermitesch ist. PI steht für partielle Integration.

  • Erzeugung eines hermiteschen Operators

    Es stellt sich heraus, dass Operatoren zu Observablen nicht automatisch hermitesch sind. Als Beispiel betrachten wir dazu die Funktionen F1 = xpx und F2 = pxx . Sie sind als Produkt aus Ortskoordinate und Impuls physikalisch deutbare Funktionen und demzufolge Observablen. Die Berechnung der Erwartungswerte ⟨xpx⟩ und ⟨pxx⟩ zeigt jedoch, dass weder der Operator ˆF1 = ˆxˆpx noch der Operator ˆF2 = ˆpxˆx hermitesch ist. Zudem erhält man für F1 und F2 unterschiedliche Erwartungswerte.

    Es ist jedoch möglich, diese Operatoren zu „hermitesieren“. In unserem Beispiel ist die Hermitesierung relativ einfach: Der zu  ˆ F1 und ˆ F2 gehörende hermitesche Operator lautet

    Im Allgemeinen kann diese Aufgabe der Hermitesierung jedoch relativ kompliziert sein.

9.4 Das zweite Postulat: Die Schrödinger-Gleichung

Ist die Wellenfunktion ψ(x,y,z,t) eines Teilchens bekannt, so ist der Zustand des Teilchens vollständig charakterisiert. Insbesondere ist es möglich die Erwartungswerte beliebiger Observablen auszurechnen und somit das Verhalten des Teilchens in einem Experiment vorauszusagen. Es stellt sich nun die Frage: Wie bestimmt man die Wellenfunktion ψ(x,y,z,t) eines Teilchens?

Die Antwort auf diese Frage lieferte Schrödinger im Jahr 1926:

Postulat  2 Die Wellenfunktion ψ(x,y,z,t) ist eine L ösung der Differentialgleichung

Diese Gleichung wird nach Schr ödinger die zeitabh ängige Schr ödinger-Gleichung genannt.

Die Dynamik eines quantenmechanischen Systems wird durch die zeitab-hängige Schrödinger-Gleichung bestimmt. Die Schrödinger-Gleichung ist ein weiteres Postulat der Quantenmechanik und kann nicht hergeleitet oder bewiesen werden.

Für ein Teilchen der Masse m , das sich mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit in einem Potential V (x,y,z,t) bewegt, nimmt die zeitabhängige Schrö-dinger-Gleichung mit (9.64) folgende Form an

In der Quantenmechanik tritt die Schrödinger-Gleichung an die Stelle der Newtonschen Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik. Wir verdeutlichen diesen Zusammenhang hier an einem Beispiel.

Ein Teilchen der Masse m bewege sich entlang der x-Achse in einem Potential V (x) . Die Newtonsche Bewegungsgleichung kann geschrieben werden in der Form

Die Quantenmechanik erlaubt nur statistische Aussagen in Form von berechneten Erwartungswerten. Demzufolge würde die entsprechende Gleichung in der Quantenmechanik folgende Gestalt annehmen

Herleitung:

Die Schrödinger-Gleichung und das konjugiert Komplexe der Schrödinger-Glei-chung für unser Beispiel lauten

Einsetzen in (9.98) liefert

Stationäre Lösungen

Wir betrachten ein Teilchen der Masse m , das sich mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit in einem Potential V (x, y,z,t) bewegt.

Definition  9.11 Ein Zustand, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Wahrscheinlichkeit  * ψ (x,t)ψ(x,t)dx das Teilchen zwischen x und x + dx anzutreffen nicht von der Zeit t abh ängt, heisst station ärer Zustand .

Ein Beispiel dafür ist die bereits mehrfach erwähnte ebene, harmonische Materiewelle

Allgemein hat ein stationärer Zustand die Form

In drei Dimensionen gilt

E ist die totale Energie des Teilchens, welche bei nichtrelativistischer Behandlung die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist

Wir setzen nun den Ansatz (9.104) in die zeitabhängige Schrödinger-Gleich-ung (9.94) ein, um herauszufinden, unter welchen Bedingungen sie eine Lösung ist

u(x,y,z) ist eine Funktion der Ortskoordinaten allein, sodass

Wenn sich das Teilchen in einem zeitunabhängigen Potential V(x,y,z) bewegt und somit die Gesamtenergie E konstant ist (∂E ∕∂t = 0 ) gilt

Diese Gleichung bestimmt die zeitunabhängige Funktion u(x,y,z) .

Ein Teilchen ist also in einem stationären Zustand, wenn seine Bewegung in einem zeitlich konstanten Potential V(x,y,z) stattfindet. Für die Funktion u(x,y,z) gilt dann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

9.4.1 Eigenschaften der Lösungen

Lösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension besitzen folgende Eigenschaften (gelten auch in drei Dimensionen):

  • Normierbarkeit

    Bei physikalischen Problemen müssen die Lösungen ψ(x,t) normierbar sein

    Da die Schrödinger-Gleichung linear und homogen ist, darf man eine Lösung mit einem Normierungsfaktor multiplizieren. In Übereinstimmung mit (9.2) wählen wir den Normierungsfaktor jeweils so, dass

    Im Fall stationärer Zustände ist  -iEt∕ℏ ψ (x, t) = u(x)e , so dass

  • Verhalten im Unendlichen

    Aus der Normierungsbedingung folgt, dass ψ(x,t) und u(x) mit x → � ∞ genügend rasch gegen null streben müssen. Dasselbe gilt auch für die Ableitungen nach x .

  • Stetigkeit und Eindeutigkeit

    ψ (x,t) und ∂ψ(x,t)∕∂x müssen für alle x stetig, eindeutig und endlich sein. Dasselbe gilt auch für u(x) und ∂u (x )∕∂x .

    Diese Eigenschaften garantieren zum Beispiel, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und der Impuls eines Teilchens kontinuierlich mit den Koordinaten variieren.

  • Superpositionsprinzip

    Da die Schrödinger-Gleichung linear und homogen ist, ist eine beliebige Linearkombination von Lösungen ebenfalls eine Lösung. D.h. sind zum Beispiel ψ 1 und ψ 2 Lösungen der Schrödinger-Gleichung, so ist ψ = a ψ + bψ 1 2 ebenfalls eine Lösung.

Ausnahmefälle

Es kommt vor, dass idealisierte Beispiele und Grenzfälle einige dieser Eigenschaften nicht erfüllen. Wir geben hier zwei bekannte Beispiele an:

  • Die ebene harmonische Materiewelle  i(px-Et)∕ℏ ψ(x,t) = Ae erfüllt die Normierungsbedingung und das geforderte Verhalten im Unendlichen nicht. Dies entspricht dem Grenzfall, bei dem Teilchen vollständig im Raum delokalisiert sind, ihre Position also völlig unbestimmt ist.
  • Lösungen für physikalisch unrealistische Randbedingungen wie z.B. für das Teilchen im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (siehe Abschnitt 9.1.1) erfüllen die Stetigkeitsbedingungen nicht. In jeder physikalisch realistischen Situation, z.B. wenn ein Elektron durch endlich grosse elektrische Felder in einem Quantenpunkt lokalisiert ist, hat ein Potentialtopf eine endliche Höhe.

9.4.2 Beispiele von Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Wir berechnen nun Lösungen der Schrödinger-Gleichung für einige grundlegende physikalische Probleme.

Bewegung im zeitlich und räumlich konstanten Potential

Wir betrachten ein nichtrelativistisches Teilchen, das sich längs der x-Achse bewegen kann und dessen potentielle Energie V0 räumlich und zeitlich konstant ist. Nach der klassischen Mechanik bewegt sich das Teilchen dann mit einem beliebigen, konstanten Impuls von links nach rechts oder von rechts nach links oder es bleibt irgendwo in Ruhe. Wir wollen nun herausfinden wie ein solches Problem quantenmechanisch gelöst wird.

Da das Potential V0 zeitunabhängig ist, kommt die zeitunabhängige Schröd-inger-Gleichung (9.109) zur Anwendung

Wir wählen den folgenden Ansatz

Einsetzen in (9.113) liefert

Daraus ergibt sich

Somit nimmt die Funktion u(x) folgende Form an

Die vollständige Wellenfunktion ψ(x,t) lautet

Mit E = ℏω und  ∘ ----------- k = 2m (E - V0)∕ℏ ist ψ (x, t) die Superposition einer links- mit einer rechtslaufenden harmonischen Welle

Nach de Broglie gilt k = p∕ℏ = mv ∕ℏ und mit  2 Ekin = mv ∕2 gilt  √ ------- k = 2mEkin∕ℏ . Der Vergleich mit (9.116) führt auf Ekin = E - V0 , was bestätigt, dass E der Gesamtenergie des Teilchens entspricht. Für die Wellenfunktion ψ(x,t) eines Teilchens mit konstantem längs der positiven x-Achse gerichteten Impuls p gilt dementsprechend

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ*(x,t)ψ(x,t) nimmt dabei den konstanten Wert A2 an. Demzufolge ist diese Wellenfunktion nicht normierbar. In diesem Fall kann die Konstante A so gewählt werden, dass sie die konstante Dichte der Teilchen entlang der x -Koordinate angibt.

Teilchen im Potentialtopf

Wir lösen nun das in Abschnitt 9.1.1 besprochene physikalische Problem eines Teilchens in einem Potentialtopf mit der Schrödinger-Gleichung. D.h. wir betrachten ein Teilchen der Masse m , das sich längs der x-Achse bewegt, jedoch zwischen den Koordinaten 0 und L lokalisiert ist. Das Potential V(x) hat dementsprechend die Form (siehe Abb. 9.1)

Da das Potential zeitunabhängig ist, gilt die zeitunabhängige Schrödinger-Glei-chung

Für x < 0 und x > L ist wegen V(x) = ∞ u(x) = 0 . Für 0 ≤ x ≤ L nimmt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung folgende Form an

Wir wählen wieder den Ansatz

Einsetzen in 9.123 liefert

Daraus ergibt sich

Somit nimmt die Funktion u(x) folgende Form an

wobei A und B die Amplituden der rechts bzw. links laufenden Wellen beschreiben. Die Berücksichtigung der Randbedingungen führt analog zu den Ausführungen in Abschnitt 9.1.1 auf die folgende Lösung3

wobei die (diskreten) Energiewerte En gegeben sind durch

Die Wellenfunktionen (9.128) erfüllen nicht alle Bedingungen, die man an eine Lösung der Schrödinger-Gleichung stellt, denn die Ableitung der Wellenfunktion nach x bei x = 0 und x = L ist unstetig. Dies ist eine Folge davon, dass das betrachtete Potential zu unphysikalischen Randbedingungen führt. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, tritt diese Schwierigkeit beim Potentialtopf mit endlicher tiefe V0 nicht auf. Trotzdem sind die Wellenfunktionen (9.128) durchaus sinnvoll, wenn man sie als Grenzfall V0 → ∞ betrachtet.

Teilchen im endlichen Potentialtopf

Wir kommen nun vom Spezialfall V = ∞ 0 zum allgemeinen Fall V ⁄= ∞ 0 . Wir betrachten ein Teilchen mit Masse m , das sich in einem zeitlich konstanten Potential

welches die Gestalt eines symmetrischen Topfes der Tiefe V0 hat (siehe Abb. 9.5), bewegt. Die Gesamtenergie des Teilchens sei E .


PIC

Abb. 9.5: Das Potential V (x) in Abhängigkeit von x für ein Teilchen im endlichen Potentialtopf. Die x-Achse wird für die Berechnungen in drei Teilgebiete I, II und III unterteilt.


Wir betrachten zuerst die klassischen Erwartungen und unterscheiden dabei die Fälle E < V0 und E > V0 :

  1. E < V0 : Da die kinetische Energie positiv sein muss, kann sich das Teilchen nur innerhalb des Topfes aufhalten. Es bewegt sich zwischen den Umkehrpunkten � a hin und her.
  2. E > V0 : Das Teilchen kann den Topf durchqueren und sich auch ausserhalb desselben aufhalten.

Wir kommen nun zur quantenmechanischen Behandlung für den Fall dass E < V0 , d.h. wenn das Teilchen im Potentialtopf lokalisiert ist. Wir unterteilen die x-Achse in drei Bereiche I, II und III (siehe Abb.  9.5) für die wir die zeitunabhängige (Potential ist zeitunabhängig) Schrödinger-Gleichung separat lösen.

  • In der Region I nimmt das Potential den Wert V0 an und daher lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

    Die Lösung dieser Gleichung ist

    Da die Lösung für x → - ∞ endlich sein muss gilt A ′1 = 0 und wir erhalten

  • In der Region II verschwindet das Potential und daher lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

    Die Lösung dieser Gleichung ist

  • Analog zu Region I ergibt sich für die Region III die Lösung

Aus den Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktion und deren Ableitung nach x an den Stellen x = �a ergeben sich die folgenden Gleichungen zur Bestimmung der Amplituden und Energiewerte

In Matrixschreibweise lautet dieses Gleichungssystem

Elementare Zeilenumformungen für lineare Gleichungssysteme liefern

Nichttriviale Lösungen ergeben sich für det(M ) = 0. Daraus ergibt sich

Wir unterscheiden hier zwei Fälle

die symmetrischen (u (x ) = u(- x) ) und antisymmetrischen (u(x ) = - u(- x ) ) Wellenfunktionen entsprechen. Wir berechnen separat die Amplituden der Wellenfunktionen in den drei Regionen und die sich daraus ergebenden möglichen Energiewerte.

  • Antisymmetrischer Fall

    Wir setzen  ′ A2 ≡ C und bestimmen mit (9.142) schrittweise die weiteren Amplituden. Für A2 erhalten wir mit (9.144)

    Wir erhalten also für den ersten Fall für den Bereich II antisymmetrische Wellenfunktionen. Daher nennen wir diesen Fall antisymmetrisch. Für  ′ A 3 und A1 ergibt sich

    Die Wellenfunktionen für die drei Bereiche I, II und III nehmen dementsprechend die folgende Form an

    Die verbleibende Unbekannte C erhalten wir aus der Normierungsbedingung. Es gilt

    Daraus ergibt sich für die Konstante C

    Damit ist die Wellenfunktion für das Teilchen im endlichen Potentialtopf im antisymmetrischen Fall bestimmt.

    Es bleibt noch die Frage zu klären, welche Energiewerte für das Teilchen erlaubt sind. Wir formen dazu die Gleichung (9.144) um, sodass wir eine transzendente Gleichung erhalten, die wir graphisch lösen können. In einem ersten Schritt ersetzen wir k und k ′ in (9.144) durch die Ausdrücke in (9.133) und (9.135). Wir erhalten somit

    Wir schreiben nun auch die linke Seite der Gleichung als Summe von Real-und Imaginärteil

    Gleichsetzen der Real- bzw. Imaginärteile ergibt folgendes Gleichungssystem

    Wir benützen die Additionstheoreme  2 cos(2x) = 1- 2 sin x und sin(2x) = 2sinx cosx und erhalten

    Division von (9.159) durch (9.158) ergibt

    Wir führen nun die Konstante  √ ----- ξ ≡ 2mV0a ∕ℏ ein. Damit ergibt sich das folgende Resultat (siehe Gl. (9.135))

    Dies ist die zu Beginn erwähnte transzendente Gleichung, die wir nun graphisch lösen. Dazu setzen wir z ≡ ka und tragen die Funktionen  a f1 (z) = - cotz und  a ∘ -2----2 f2(z) = ξ - z ∕z auf (siehe Abb. 9.6).


    PIC
    Abb. 9.6: Graphische Lösung der transzendenten Gleichung (9.161) für verschiedene Werte von ξ . Die Funktion f1a(z) entspricht der schwarzen durchgezogenen Linie, die Funktion f a(z) 2 ist durch die rot gepunktete (ξ1 ), blau gestrichelte (ξ 2 ) und grün durchgezogene Linie (ξ 3 ) dargestellt, wobei ξ1 < ξ2 < ξ3 .


    Die erlaubten Werte von z ergeben sich aus den Schnittpunkten dieser beiden Kurven. Die Anzahl antisymmetrischer Lösungen na hängt von ξ ab. Dabei gilt folgende Gesetzmässigkeit: Wenn

    dann besitzt (9.161) genau n a Lösungen. Insbesondere wird daraus ersichtlich, dass antisymmetrische Lösungen nur dann existieren, wenn ξ > π ∕2 , d.h. wenn gilt

    Das Potential V0 muss also einen minimalen Wert aufweisen. Die z entsprechenden Energiewerte E ergeben sich aus (siehe Gl. (9.135))

  • Symmetrischer Fall

    Da der symmetrische Fall analog zum antisymmetrische Fall gelöst wird, werden wir uns im Wesentlichen auf die Angabe der Resultate beschränken. Wir setzen wiederum  ′ A 2 ≡ C und bestimmen mit (9.142) schrittweise die weiteren Amplituden. Für A2 erhalten wir mit (9.145)

    Wir erhalten also für den Bereich II symmetrische Wellenfunktionen. Daher nennen wir diesen Fall symmetrisch. Für A ′3 und A1 ergibt sich

    Die Wellenfunktionen für die drei Bereiche I, II und III nehmen dementsprechend die folgende Form an

    Die verbleibende Unbekannte C erhalten wir aus der Normierungsbedingung. Analog zu den Berechnungen beim antisymmetrischen Fall ergibt sich für die Konstante C

    Damit ist die Wellenfunktion für das Teilchen im endlichen Potentialtopf auch im symmetrischen Fall bestimmt. Ebenfalls ergibt sich auf analoge Weise eine transzendente Gleichung zur Bestimmung der Energiewerte

    Für die graphische Lösung setzen wir wiederum z ≡ ka und tragen die Funktionen  s f1(z) = tanz und  s ∘ -2---2- f2(z) = ξ - z ∕z auf (siehe Abb. 9.7).


    PIC
    Abb. 9.7: Graphische Lösung der transzendenten Gleichung (9.172) für verschiedene Werte von ξ . Die Funktion f s(z) 1 entspricht der schwarzen durchgezogenen Linie, die Funktion f s(z) 2 ist durch die rot gepunktete (ξ 1 ), blau gestrichelte (ξ2 ) und grün durchgezogene Linie (ξ3 ) dargestellt, wobei ξ1 < ξ2 < ξ3 .


    Die erlaubten Werte von z ergeben sich aus den Schnittpunkten dieser beiden Kurven. Die Anzahl symmetrischer Lösungen ns ist gegeben durch

    wobei ⌈...⌉ auf die nächsthöhere ganze Zahl rundet. Somit existiert für ξ > 0 im Gegensatz zum antisymmetrischen Fall auf jeden Fall mindestens eine Lösung. Die z entsprechenden Energiewerte E ergeben sich wiederum aus (9.164).

Zum Abschluss formulieren wir einige Schlussfolgerungen und zusammenfassende Bemerkungen:

  • Fassen wir die beiden Fälle zusammen, so ergeben sich für ein festes Potential V0 und damit für ein festes ξ

    diskrete Zustände, die das Teilchen besetzen kann. ⌊...⌋ rundet auf die nächstkleinere ganze Zahl ab. Zum Beispiel ergeben sich für ein Potential mit ξ = 5 : 4 Zustände, 2 antisymmetrische und 2 symmetrische.

  • Die symmetrischen und antisymmetrischen Zustände wechseln einander mit wachsender Energie und Knotenzahl4 ab. Die Knotenzahl im symmetrischen Grundzustand ist null und steigt bei jedem höheren Zustand um eins. Sie bietet daher eine Möglichkeit, die Zustände zu nummerieren.
  • In Abb. 9.8 ist eine numerische Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktionen für die Knotenzahlen k von 0 bis 4 dargestellt.
  • Im Vergleich zu den zu Beginn aufgeführten klassischen Betrachtungen ergibt sich folgender wichtige Unterschied: Auch bei E < V 0 besteht eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit das Teilchen ausserhalb des Topfes (in den Gebieten I und III) anzutreffen.


PIC
Abb. 9.8: Numerische Lösung der Schrö-dinger-Gleichung für die Wellenfunktionen für die Knotenzahlen k von 0 bis 4.


Der Tunneleffekt

Wir betrachten ein Teilchen mit kinetischer Energie E , welches auf eine Potentialbarriere der Höhe V0 > E und der Breite L trifft (siehe Abb. 9.9). Nach den Regeln der klassischen Physik kann das Teilchen die Barriere nicht überwinden. Quantenmechanisch kann ein Teilchen jedoch eine Potentialbarriere durchdringen und sich auf der anderen Seite der Barriere weiter fortbewegen. Auf diesen quantenmechanischen Effekt, den sogenannten Tunneleffekt, gehen wir in diesem Abschnitt genauer ein.


PIC

Abb. 9.9: Ein Teilchen mit kinetischer Energie E trifft auf eine Potentialbarriere der Höhe V0 > E und der Breite L .


Der Tunneleffekt wurde in zahlreichen Experimenten verifiziert, z.B. beim radioaktiven Zerfall oder in elektronischen Tunneldioden. Der Tunneleffekt wird z.B. im Rastertunnelmikroskop (siehe Abschnitt 7.2.3), welches zur Abbildung der Oberfläche verwendet werden kann, auch technisch angewandt. Dessen Funktionsweise beruht darauf, dass es für Elektronen möglich ist die Potentialbarriere zwischen der abtastenden Spitze und der zu untersuchenden Oberfläche einer Probe zu überwinden.

Das Ziel der folgenden Rechnung ist es, die sogenannte Transmissionswahrscheinlichkeit, auch Transmissionskoeffizient genannt, eines Teilchens durch eine Potentialbarriere zu bestimmen. Die Definition lautet folgendermassen:

Definition  9.12 Die Transmissionswahrscheinlichkeit T ist definiert als der transmittierte Teilchenfluss Strans geteilt durch den einfallenden Teilchenfluss Sein und ist damit ein Mass f ür die St ärke des Tunneleffekts

Der Teilchenfluss S ist dabei gegeben durch

d.h.  als Produkt von Wahrscheinlichkeitsdichte  2 |u(x)| und Teilchengeschwindigkeit v .

Wir beginnen unsere Berechnung, indem wir die x-Achse in drei Bereiche I, II und III unterteilen (siehe Abb. 9.9), für die wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (Potential ist zeitunabhängig) separat lösen

Die Lösung für die drei Bereiche lassen sich analog zu den vorangegangenen Beispielen mit Hilfe eines Exponentialansatzes bestimmen. Wir verzichten daher auf eine Herleitung und geben direkt die Lösungen für die Wellenfunktionen uI , uII und uIII in den drei Bereichen an

Es ist zu bemerken, dass im Bereich III aufgrund der betrachteten Situation (Teilchen kommt von links) nur eine rechtslaufende Welle existieren kann und daher G = 0 ist. Die anderen Koeffizienten A , B , C , D und F ergeben sich aus den Stetigkeitsbedingungen bei x = 0 und x = L für die Wellenfunktion und deren Ableitung nach x . Bevor wir die Koeffizienten A , B , C , D und F aus diesen Stetigkeitsbedingungen berechnen, gehen wir zurück zu unserem ursprünglichen Ziel, der Bestimmung der Transmissionswahrscheinlichkeit T . Mit (9.180) und (9.182) ergibt sich nach Definition 9.12 der folgende Ausdruck

wobei uI,ein(x ) den einfallenden Anteil der Wellenfunktion uI(x) bezeichnet. Ausserdem haben wir im letzten Schritt verwendet, dass vI = vIII , da sich das Teilchen in beiden Regionen I und III im potentialfreien Raum bewegt und beim Tunnelprozess keine kinetische Energie verliert. Demzufolge genügt es das Verhältnis A ∕F aus den Stetigkeitsbedingungen zu bestimmen. Diese sind gegeben durch

In Matrixschreibweise lautet dieses Gleichungssystem

Elementare Zeilenumformungen für lineare Gleichungssysteme liefern

Wir drücken nun mit (9.189) Schritt für Schritt die Koeffizienten A , B , C und D durch den Koeffizient F aus, um dann schliesslich zum Verhältnis A∕F zu gelangen. Für den Koeffizient D ergibt sich

Damit erhalten wir für den Koeffizient C

Für den Koeffizient B resultiert

Schlussendlich erhalten wir daraus für das Verhältnis A ∕F

Wir vereinfachen diesen Ausdruck, indem wir folgende zwei Annahmen tätigen:

  1. Die Teilchenenergie E sei klein gegenüber der Höhe der Potentialbarriere V0 , d.h. E ≪ V0 . Damit ergibt sich: kII ≫ kI und daraus

  2. Für die Barrierebreite L sei kIIL ≫ 1 , d.h. wir betrachten breite Barrieren. Daraus folgt

Mit diesen beiden Annahmen (9.194) und (9.195) vereinfacht sich der Ausdruck (9.193) für das Verhältnis A ∕F folgendermassen

Einsetzen in (9.183) liefert für die Transmissionswahrscheinlichkeit

Mit den Ausdrücken  √ ----- kI = 2mE ∕ℏ und  ∘ ----------- kII = 2m (V0 - E )∕ℏ ergibt sich das folgende Schlussresultat

D.h. die Transmissionswahrscheinlichkeit zeigt eine starke exponentielle Ab-hängigkeit von Teilchenenergie E und der Breite der Barriere L .

Um nun eine Vorstellung über die Stärke des Tunneleffekts zu erhalten, betrachten wir das folgende Beispiel: Ein Elektron mit kinetischer Energie E = 1 eV bewegt sich auf eine Potentialbarriere der Höhe V0 = 10 eV und Breite L = 0.5 nm zu. Wie gross ist die Transmissionswahrscheinlichkeit T , d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron die Barriere überwinden kann? Einsetzen der Werte in (9.198) liefert das folgende Ergebnis

Das bedeutet, dass selbst für leichte Teilchen und niedrige Barrieren die Transmissionswahrscheinlichkeit T sehr klein ist. Dennoch ist der Tunneleffekt experimentell beobachtbar und findet, wie bereits zu Beginn des Abschnitts erwähnt, zum Beispiel beim Rastertunnelmikroskop5 (siehe Abschnitt 7.2.3) seine Anwendung.

Zum Abschluss dieses Abschnitts geben wir das Resultat einer Mathematica Berechnung für die Wellenfunktion (Realteil) und die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte für die Zahlenwerte E = 9 eV, V0 = 10 eV und L = 0.5 nm wider (siehe Abb. 9.10). Aus dieser graphischen Darstellung wird ersichtlich, dass die Wellenfunktion vor und nach der Potentialbarriere oszilliert und innerhalb der Barriere exponentiell abfällt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte oszilliert ebenfalls vor der Potentialbarriere, da sich dort eine stehende Welle aus einfallender und reflektierter Materiewelle ausbildet. Innerhalb der Barriere fällt die Wahrscheinlichkeitsdichte exponentiell ab und hat nach der Barriere einen konstanten Wert, da sich das Teilchen dort als ebene Welle nur nach rechts ausbreitet.


PIC

Abb. 9.10: Mathematica Berechnung der (a) Wellenfunktion Re [u (x )] und (b) Wahrscheinlichkeitsdichte  2 |u (x )| für ein Elektron, das sich mit einer kinetischen Energie E = 9 eV auf eine Potentialbarriere der Höhe V0 = 10 eV und Breite L = 0.5 nm zubewegt und diese „tunnelt“.


Bewegung eines Wellenpakets durch einen Potentialtopf / Potentialbarriere

Wie bereits zuvor diskutiert ergibt sich ein Wellenpaket als Superposition von vielen harmonischen Wellen mit verschiedenen Frequenzen ω und Wellenzahlen k (siehe Abschnitt 6.4). Die verschiedenen Frequenzen ω entsprechen verschiedenen Energien ℏω .

Wir betrachten hier die Bewegung eines Gaussschen Wellenpakets durch einen Potentialtopf der Tiefe V0 und durch eine Potentialbarriere der Höhe V0 hindurch. Dieses Problem lässt sich durch Lösung der zeitabhängigen Schröd-inger-Gleichung (9.94) bearbeiten. Die Berechnung eines solchen Problems lässt sich nur schwierig von Hand bewältigen. Wir geben hier das Resultat einer Computerberechnung wieder, welche von Abraham Goldberg und seinen Mitarbeitern im Jahr 1967 [12] durchgeführt wurde. Diese zeigen, dass sich das Wellenpaket am Potentialtopf und an der Barriere, für den Fall dass die Teilchenenergie sehr viel grösser ist als die Topftiefe oder die Barrierenhöhe (⟨E ⟩ ≫ V0) , im Wesentlichen wie ein klassisches Teilchen verhält. Das Teilchen überwindet die durch die Barriere oder den Topf dargestellte Störung mit hoher Wahrscheinlichkeit und wird nur mit einer niedrigen Wahrscheinlichkeit reflektiert. Für ⟨E ⟩ ≪ V 0 wird das Teilchen sowohl vom Topf als auch von der Barriere reflektiert. Für die Barriere entspricht dies angenähert ebenfalls den klassischen Vorstellungen. Drastische Abweichung vom klassischen Verhalten kommen jedoch zum Vorschein, wenn die Teilchenenergie von ähnlicher Grösse ist wie die Barrierenhöhe oder die Topftiefe (siehe Abb. 9.11). Vergleiche dazu die Ausführungen zum Tunneleffekt im vorangegangenen Abschnitt.


PIC

Abb. 9.11: Computerberechnungen für die Bewegung eines Gaussschen Wellenpakets durch einen Potentialtopf (links) und durch eine Potentialbarriere (rechts) für den Fall ⟨E ⟩ = V0 . [12]


9.5 Eigenwerte und Eigenfunktionen von Operatoren

9.5.1 Scharfe und unscharfe Werte von Observablen

Wir illustrieren zunächst die Bedeutung von scharfen bzw. unscharfen Observablen anhand von einigen Beispielen und geben anschliessend die genaue mathematische Definition. Bei den Beispielen beziehen wir uns auf die Heisenbergsche Unschärferelation (siehe Abschnitt 9.2).

Stationäre Zustände

Bei der Bewegung eines Teilchens (Massepunkt) in einem zeitunabhängigen Potential bleibt die Gesamtenergie E konstant. Zur Messung der Energie steht damit eine beliebig lange Zeitspanne Δt zur Verfügung. Da ΔE Δt ~ h , also endlich ist, kann die Unschärfe ΔE einer Messung der Energie beliebig klein werden. Man sagt in diesem Fall: Die Energie hat den scharfen Wert E .

Zum Beispiel haben wir beim Teilchen im Potentialtopf gesehen (siehe Abschnitte 9.1.1 und 9.4.2), dass die Energie verschiedene scharfe und diskrete Werte En annehmen kann, welche durch die Quantenzahl n charakterisiert sind.

Bei genauerer Betrachtung findet man jedoch, dass die Schärfe der Differenz zweier Energien eines quantenmechanischen Systems immer durch die Lebensdauer der mit dem Übergang verknüpften Zustände begrenzt ist. Diese Zustände können, wie wir bereits kennengelernt haben, im Prozess der spontanen Emission, hervorgerufen durch die Wechselwirkung mit den Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes, auf einer durch die Einstein-Koeffizienten bestimmten Zeitskala zerfallen.

Teilchen im räumlich und zeitlich konstanten Potential

Nach Abschnitt 9.4.2 ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen im räumlich und zeitlich konstanten Potential eine ebene, harmonische Welle

Da der Zustand stationär ist, ist die Energie scharf. Im Gegensatz zum Teilchen im Potentialtopf sind die Werte, die sie annehmen kann, jedoch beliebig und nicht diskret.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ*(x,t)ψ(x,t) ist räumlich (und zeitlich) konstant. D.h. der genaue Aufenthaltsort des Teilchens ist unbestimmt oder mit anderen Worten, die Unschärfe Δx des Ortes ist unendlich. Da ΔpΔx ~ h endlich ist, verschwindet die Unschärfe Δp des Impulses p . D.h. neben der Energie E nimmt auch der Impuls p einen scharfen Wert an. Auch beim Impuls sind die Werte beliebig und nicht diskret.

Unscharfe Werte

Im Gegensatz zu diesen Beispielen haben wir bei der Beugung am Spalt (siehe Abschnitt 9.2.1) und beim Gaussschen Wellenpaket (siehe Abschnitt 9.2.2) gesehen, dass sowohl der Ort x als auch der Impuls p unscharfe Werte annehmen. Dabei sind die Unschärfen Δx und Δp von Ort und Impuls durch die Heisenbergsche Unschärferelation miteinander verknüpft.

Definition: Der scharfe Wert einer Observablen

Diesen Beispielen folgend geben wir nun eine mathematische Definition an, unter welchen Bedingungen der Erwartungswert ⟨F ⟩ einer Observablen F scharf bestimmt ist.

Definition  9.13 F ür ein Teilchen im Zustand ψ(x,t) ist der Erwartungswert ⟨F ⟩ einer Observablen F scharf bestimmt, wenn bei wiederholter Messung an identisch gleich pr äparierten Teilchen immer der selbe Wert F0 resultiert. Mathematisch bedeutet das, dass die Unsch ärfe ΔF verschwinden muss

Der Index ψ soll daran erinnern, dass diese Beziehung f ür ein Teilchen im Zustand ψ (x, t) gilt, denn es h ängt vom Zustand ab, ob der Erwartungswert einer Observable einen scharfen Wert annimmt oder nicht.

Wir werden nun zeigen, dass sich mit Hilfe des Operatorformalismusses eine einfache Bedingung angeben lässt, die erfüllt sein muss, damit der Erwartungswert ⟨F ⟩ψ einer Observable F im Zustand ψ(x,t) einen scharfen Wert besitzt. Wir betrachten diese Observable als Funktion F (x,p) oder allgemeiner als Funktion F (qk,pk) der verallgemeinerten Koordinaten qk und der dazu kanonisch konjugierten Impulse pk . Wir betrachten hier stationäre (zeitunabhängige) Zustände und interpretieren die Bildung der Erwartungswerte als Mittelung vieler Messungen an identischen, gleich präparierten Teilchen.

Satz  9.1 Sei der Zustand jedes betrachteten Teilchens beschrieben durch die Wellenfunktion ψ(x,t) im Ortsraum, dann gilt: Der Erwartungswert ⟨F (x,p)⟩ψ einer Observable F (x,p ) nimmt genau dann den scharfen Wert F0 an, wenn die Wellenfunktion ψ(x,t) die folgende Gleichung erf üllt

Die Gleichung  ( 9.202 ) wird als Eigenwertgleichung bezeichnet. Sie besagt, dass sich die Wellenfunktion ψ(x,t) bis auf den Faktor F0 reproduziert, wenn man den Operator ˆF auf sie anwendet. Eine Wellenfunktion ψ (x, t) , die  ( 9.202 ) erf üllt, ist eine Eigenfunktion des Operators Fˆ . Der scharfe Wert F0 , den der Erwartungswert ⟨F (x,p)⟩ψ annimmt, wird Eigenwert des Operators Fˆ genannt.

In der Impulsraumdarstellung gilt ein entsprechender Satz für die Wellenfunktion ϕ(p,t) . Es ist zu beachten, dass der Operator  ˆ F in dieser Darstellung eine andere Form besitzt als in der Ortsraumdarstellung.

Beweis des Satzes:

Nach Definition 9.13 für den scharfen Wert des Erwartungswerts ⟨F (x,p)⟩ψ einer Observable F (x,p ) ist folgende Äquivalenz zu zeigen

wobei F0 = ⟨F (x, p)⟩ψ . Wir betrachten die beiden Richtungen einzeln.

⇒

Mit Hilfe der Eigenwertgleichung (9.202) folgt für den Erwartungswert

Für den Erwartungswert ⟨ 2 ⟩ F (x,p) ψ von  2 F (x, p) ergibt sich

Somit erhalten wir für die Unschärfe (ΔF )ψ von F(x,p)

⇐

Aus (ΔF )ψ = 0 folgt mit der Eigenschaft, dass in der Quantenmechanik die Operatoren hermitesch sind

Dieses Integral verschwindet nur dann, wenn gilt

d.h. wenn folgende Gleichung erfüllt ist

□

Wir fassen diesen Abschnitt zusammen:

Genau dann wenn bei wiederholter Messung der Observablen F(x,p) an identischen, im selben Zustand ψ(x,t) präparierten Teilchen, immer der selbe Wert F0 gemessen wird, ist ψ(x,t) eine Eigenfunktion des Operators  ˆ F zum Eigenwert F0 . Man sagt dann, das Teilchen befindet sich in einem Eigenzustand des Operators Fˆ der zum Eigenwert F0 gehört.

9.5.2 Eigenfunktionen und Eigenwerte von ausgewählten Operatoren

Wir betrachten hier verschiedene Operatoren, die wir in Abschnitt 9.3.2 kennengelernt haben und bestimmen ihre Eigenfunktionen und Eigenwerte.

Eigenfunktionen und Eigenwerte des Hamilton-Operators

Wir betrachten ein Teilchen, das sich in einem zeitunabhängigen Potential V (x,y,z) bewegt. Seine Gesamtenergie E ist dann konstant und damit scharf messbar, wenn sich das Teilchen in einem Eigenzustand des Operators befindet. Nach Abschnitt 9.5.1 ist somit E ein Eigenwert des Hamilton-Operators  ˆ H . Die Eigenwertgleichung lautet

Andererseits gilt die Schrödinger-Gleichung

Aus (9.210) und (9.211) folgt die Gleichung

mit der allgemeinen Lösung

Andererseits kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (9.109) als Eigenwertgleichung aufgefasst werden, indem wir schreiben

Wir halten fest

  • Die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators (9.213) stellen stationäre Zustände dar.
  • Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (9.109) kann als Eigenwertgleichung aufgefasst werden.
  • Insbesondere sind die Wellenfunktionen u(x,y,z) Eigenfunktionen des Hamilton-Operators.

Das Teilchen im Potentialtopf (siehe Abschnitte 9.1.1 und 9.4.2) ist ein instruktives Beispiel für das Auftreten diskreter Energiewerte En . Zu jedem Eigenwert En des Hamilton-Operators gehört eine Eigenfunktion ψn (x, t) bzw. u (x ) n .

Eigenfunktionen und Eigenwerte des Impulsoperators

Wir betrachten einfachheitshalber ein eindimensionales System. Die Eigenwertgleichung lautet

mit der allgemeinen Lösung

wobei f(t) als Amplitude aufzufassen ist. Diese Funktion ist räumlich periodisch und stellt ein Teilchen dar, das einen scharf bestimmten Impuls p0 hat, dessen Position aber völlig unbestimmt ist. Damit ist die Unschärfe des Ortes unendlich gross. Dies ist im Einklang mit der Heisenbergschen Unschärferelation (9.37).

Eigenfunktionen und Eigenwerte des Ortsoperators

Wir beschränken uns wiederum auf eine Dimension und betrachten zusätzlich ein zeitunabhängiges Problem. Die Eigenwertgleichung nimmt dann folgende Form an

Der Ortsoperator in der Ortsraumdarstellung entspricht dem Faktor x . Demzufolge können wir schreiben

Nach dieser Gleichung muss u(x) verschwinden für alle x ⁄= x0 . Bei x = x0 ist u(x) unendlich und zwar so, dass

D.h. u(x) entspricht einer sogenannten Diracschen Deltafunktion

Eine solche Deltafunktion kann man angenähert als beliebig schmales Gausssches Wellenpaket beschreiben

Eigenfunktionen und Eigenwerte des Operators ˆLz

Der Zustand eines Teilchens im dreidimensionalen Raum sei in Kugelkoordinaten ausgedrückt ψ(r,ϑ,φ,t) = u(r,ϑ, φ)eiEt∕ℏ . Wir betrachten hier wiederum ein zeitunabhängiges Problem. Somit lautet die Eigenwertgleichung für den Operator ˆ Lz

Mit (9.68) ergibt sich

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

Das erste Postulat (siehe Abschnitt 9.1) verlangt, dass die Wellenfunktion eindeutig sein muss. Daraus ergibt sich für die Wellenfunktion u(r,ϑ,φ) folgende notwendige Bedingung

D.h. es muss gelten

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn

Damit ergibt sich

Die Eigenwerte Lz0 des Operators ˆ Lz sind ganzzahlige Vielfache von ℏ

Zu jedem Eigenwert (zu jeder Quantenzahl) mlℏ gehört eine Eigenfunktion uml (r,ϑ,φ )

Aus diesen Betrachtungen ergibt sich, dass die z-Komponente des Bahndrehimpulses - wenn sie einen scharfen Wert besitzt - nur die diskreten Werte mlℏ annehmen kann. Dies gilt nur für eine ausgezeichnete Richtung des Raumes, in diesem Fall die z-Richtung. Entlang der beiden dazu orthogonalen Raumrichtungen, x und y , ist der Bahndrehimpuls unscharf. Diese Tatsache werden wir in einem späteren Kapitel noch genauer diskutieren.

9.5.3 Das dritte Postulat: Die quantenmechanische Messung

Das dritte Postulat der Quantenmechanik lautet:

Postulat  3 Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen F ist ein Eigenwert des zugeh örigen Operators Fˆ . Erh ält man bei einer Messung den Eigenwert F0 , so geht die Wellenfunktion in die entsprechende Eigenfunktion ψ (x, t) über. D.h.  befindet sich das System vor der Messung einer Observablen F nicht in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators ˆF , so ändert die Messung den Zustand des System, sodass sich das System nach der Messung in einem Eigenzustand des Operators ˆ F befindet. Hingegen bleibt der Zustand des Systems unver ändert, wenn dieser bereits vor der Messung der Observablen F einem Eigenzustand des entsprechenden Operators Fˆ entspricht.

Wir illustrieren Postulat 3 am Beispiel des Bahndrehimpulses aus dem vorangegangenen Abschnitt. Wir betrachten die Messung der Komponente des Bahndrehimpulses eines Teilchens längs einer vorgegebenen Achse. Eine solche ausgezeichnete Achse kann zum Beispiel durch die Richtung eines angelegten homogenen Magnetfeldes vorgegeben sein, eine Situation die wir im Kontext des Zeeman-Effekts noch genauer diskutieren werden. Es ist in der Quantenmechanik üblich, diese Achse, längs der die Komponente des Bahndrehimpulses gemessen wird, als z-Achse zu bezeichnen.

Als Ergebnis einer solchen Messung der z-Komponente des Bahndrehimpulses Lz ergeben sich nach Postulat 3 und Abschnitt 9.5.2 nur die diskreten Werte ml ℏ , d.h. die Eigenwerte des entsprechenden Operators ˆLz . Führt man diese Messung nun an gleich präparierten Teilchen durch und misst jedes Mal den selben Wert (Eigenwert) mlℏ , dann war der Zustand der Teilchen vor der Messung ein Eigenzustand von Lˆ z und der Zustand der Teilchen wird durch die Messung nicht verändert. Misst man hingegen an gleich präparierten Teilchen verschiedene Werte (Eigenwerte) mlℏ , dann war der Zustand der Teilchen vor der Messung kein Eigenzustand von ˆ Lz . Nach der Messung befinden sich in diesem Fall die Teilchen in verschiedenen Eigenzuständen von ˆLz zu den entsprechenden Eigenwerten (Messresultaten) ml ℏ .

9.5.4 Simultane Eigenfunktionen zweier Operatoren

Nach Satz 9.1 nimmt der Erwartungswert ⟨F (x,p)⟩ ψ einer Observable F(x,p) den scharfen Wert F0 an, wenn der Zustand des Teilchens ψ (x,t) die Eigenwertgleichung

erfüllt. Es stellt sich nun die Frage, ob Zustände ψ(x,t) existieren, für die die Erwartungswerte von zwei Observablen gleichzeitig scharf sind. Diese Frage ist mit „ja“ zu beantworten, wie das folgende Beispiel zeigt.

Die Wellenfunktion

stellt ein Teilchen dar, das sich im zeitlich und räumlich konstanten Potential längs der x-Achse bewegt. Nach Abschnitt 9.5.1 sind die Energie E und auch der Impuls p gleichzeitig scharf. Dies lässt sich nochmals verdeutlichen, indem wir die Wellenfunktion ψ(x,t) als Produkt schreiben

Daraus wird ersichtlich, dass es sich um eine simultane Eigenfunktion der Operatoren ˆpx und Hˆ handelt. Denn eine Eigenfunktion von ˆpx hat nach (9.216) die allgemeine Form

und eine Eigenfunktion von  ˆ H hat nach (9.213) die allgemeine Form

Das Ziel ist es nun ein allgemeines Kriterium zu formulieren, welches angibt, ob zwei Observable gleichzeitig scharf messbar sind. Im Zusammenhang mit der Erklärung der Bedeutung des Kommutators (siehe Abschnitt 9.3.3) haben wir diese Frage schon einmal gestreift, indem wir gesagt haben, dass die Erwartungswerte nicht kommutierender Operatoren gleichzeitig nicht mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden können. Wie angekündigt wollen wir nun diese Aussage präziser formulieren und beweisen. Es gilt der folgende Satz:

Satz  9.2 Die Erwartungswerte von zwei Observablen F und G eines Teilchens im Zustand ψ (x,t) sind dann und nur dann gleichzeitig scharf, wenn die Anwendung des Kommutators der entsprechenden Operatoren ˆF und ˆG auf die Wellenfunktion ψ(x,t) null ergibt

Beweis:

Wir betrachten die beiden Richtungen einzeln.

⇒

Wenn F und G gleichzeitig scharf sind, dann gelten nach Satz 9.1 die Eigenwertgleichungen

Damit ergibt sich

⇐

Zu zeigen ist, dass wenn die Anwendung des Kommutators [Fˆ, ˆG] auf die Wellenfunktion ψ(x,t) null ergibt, ψ (x,t) eine Eigenfunktion von ˆF und ˆG ist.6

Es sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) ψ(x,t) eine Eigenfunktion von  ˆ F , dann gilt

Da [Fˆ, ˆG]ψ(x,t) = 0 gilt

Mit (9.239) erhalten wir

Da ψ(x,t) die einzige Eigenfunktion von ˆF zum Eigenwert F 0 ist, muss Gˆψ(x,t) proportional zu ψ(x,t) sein. Wir bezeichnen die Proportionalitätskonstante mit G0 und erhalten

d.h. ψ(x,t) ist gleichzeitig auch eine Eigenfunktion von ˆG . Für den Beweis des entarteten Falls verweisen wir auf weiterführende Literatur [11].

□

Beispiele zur Anwendung des Satzes
  • Nach Abschnitt 9.3.3 kommutieren ˆx und ˆpx für jede beliebige Wellenfunktion ψ nicht. Demzufolge gibt es nach Satz 9.2 keinen Zustand, bei dem x und px gleichzeitig scharf sind. Dies ist in Übereinstimmung mit der Unschärferelation (9.37).
  • Die Operatoren der Bahndrehimpulskomponenten kommutieren nicht (siehe Abschnitt 9.3.3). Demzufolge gibt es nach Satz 9.2 auch für diese Observablen keinen Zustand, bei dem sie gleichzeitig scharf sind.
  • Weitere Beispiele für gleichzeitig scharfe Observable werden wir bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffatoms (siehe Kapitel 11) kennenlernen. In diesem Fall sind dann sogar drei Observablen scharf: Die Energie E , das Quadrat des Bahndrehimpulsvektors ⃗L2 und die z-Komponente Lz des Bahndrehimpulses. Entsprechend gilt nach Satz 9.2

9.5.5 Orthogonalität der Eigenfunktionen

Die allgemeine mathematische Definition für die Orthogonalität zweier Funktionen lautet:

Definition  9.14 Zwei Funktionen f(x) und g(x) nennt man im Variablenbereich a ≤ x ≤ b orthogonal , wenn gilt

Zum Beispiel sind die Funktionen cos(mx ) und cos(nx ) bei ganzzahligen m und n im Variablenbereich - π ≤ x ≤ π orthogonal für m ⁄= n , denn es gilt

Die gleiche Orthogonalitätsbedingung erfüllen auch die Funktionen sin(mx ) und sin(nx ) . Es sind genau diese Orthogonalitätseigenschaften, die die Fourier-Entwicklung ermöglichen.

Für die Wellenfunktionen ψ(x,t) gilt der folgende Satz:

Satz  9.3 Es seien ψm (x,t) und ψn(x,t) Eigenfunktionen des hermiteschen Operators ˆ F , die zu verschiedenen Eigenwerten Fm und Fn geh ören. Dann sind ψm (x,t) und ψn(x,t) orthogonal in ihrem r äumlichen Existenzgebiet, d.h.

Beweis:

  • Hermitesche Operatoren Fˆ erfüllen die Bedingung (9.91)

    Wir beweisen nun in einem ersten Schritt, dass dann auch gilt

    Es sei ψ (x,t) = ψ (x,t)+ βψ (x,t) m n , wobei β ∈ ℂ beliebig. Für diese Wellenfunktion gilt nach (9.247)

    Ausmultiplizieren liefert

    Indem wir wiederum die Bedingung (9.247) für hermitesche Operatoren ausnützen, lassen sich einige Terme wegkürzen und wir erhalten

    Mit den Bezeichnungen α und γ können wir (9.251) schreiben

    Für β ∈ ℂ dürfen wir einen beliebigen Wert annehmen. Wir wählen einmal β = 1 und einmal β = i und erhalten damit die Gleichungen α = γ und α = - γ mit der Lösung α = 0 und γ = 0 , d.h.

    Jede dieser Gleichungen ist äquivalent zu (9.248), womit die Richtigkeit von (9.248) bewiesen ist.

  • Betrachte nun zwei Eigenfunktionen ψm (x,t) und ψn (x,t) von Fˆ , die zu den (reellen) Eigenwerten Fm und Fn gehören. Die entsprechenden Eigenwertgleichungen lauten dann

    Einsetzen in (9.248) liefert

    d.h. für Fm ⁄= Fn gilt

□

Wir illustrieren Satz 9.3 an zwei bekannten Beispielen:

  • Teilchen im Potentialtopf

    Die Orthogonalität der Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für ein Teilchen im (unendlichen) Potentialtopf ist für x < 0 und x > L offensichtlich. Wir zeigen nun, dass die Orthogonalitätsbedingung auch für 0 ≤ x ≤ L erfüllt ist. Nach Abschnitt 9.4.2 nehmen die Eigenfunktionen folgende Form an

    Damit ergibt sich

    Das Integral über die ersten beiden Summanden verschwindet. Für das Integral über die letzten beiden Summanden müssen wir eine Fallunterscheidung machen. Wir erhalten

  • Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulsoperators (z-Komponente)

    Nach Abschnitt 9.5.2 haben die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulsoperators Lˆz folgende Form

    wobei zu jedem ml ein Eigenwert Lz0 = mlℏ gehört. Dies ist eine Produktwellenfunktion, bei der die Variable φ von den Variablen r und ϑ separiert ist. Sowohl das System der Funktionen eimlφ , als auch das System der Funktionen fml(r,ϑ) muss Orthogonalitätseigenschaften haben. Näheres folgt im Kapitel 11 über das Wasserstoffatom. Die Funktionen f (r,ϑ) ml hängen vom betrachteten System ab. Für das System der Funktionen  imlφ e lässt sich die Orthogonalitätseigenschaft leicht überprüfen

Entartung

Häufig gehören zu einem Eigenwert F m eines Operators ˆF mehrere verschiedene Eigenfunktionen. In diesem Fall spricht man von Entartung.

Zum Beispiel sind die Eigenfunktionen ψn1,n2,n3(x,y,z,t) des Hamilton-Operators eines in einem Würfel eingesperrten Teilchens entartet

mit den Eigenwerten

Entartet sind dabei sicher alle Energieniveaus bei denen mindestens zwei der Quantenzahlen n1 , n2 und n3 nicht verschieden sind. Aus dem Beweis des Satzes 9.3 geht hervor, dass zwei verschiedene Eigenfunktionen, die zum selben Eigenwert gehören nicht notwendigerweise orthogonal sind. Deshalb ist Satz 9.3 im Fall der Entartung mit Vorsicht anzuwenden. Wir werden auf diese Thematik der Entartung im nächsten Abschnitt nochmals genauer eingehen.

9.5.6 Linearkombinationen von Eigenfunktionen

Linearkombinationen zum selben Eigenwert

Für Eigenfunktionen zum selben Eigenwert, d.h. im Fall der Entartung, gilt der folgende Satz:

Satz  9.4 Eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators ˆF zum selben Eigenwert F 0 ist wieder eine Eigenfunktion des Operators ˆF zum selben Eigenwert F0 .

Beweis:

Seien ψi(x, t) , i = 1, 2, ..., n , Eigenfunktionen des Operators Fˆ zum selben Eigenwert F0 , dann gilt

Für eine Linearkombination dieser Eigenfunktionen  ∑n ψ(x,t) = i=1 ciψi(x,t) , ci ∈ ℂ erhalten wir

□

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass Eigenfunktionen zum selben Eigenwert nicht notwendigerweise orthogonal sind. Im Allgemeinen ist es jedoch sehr hilfreich mit orthogonalen Eigenfunktionen rechnen zu können. Nach Satz 9.4 ist es nun möglich aus Eigenfunktionen ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , zum selben Eigenwert F0 eines Operators Fˆ neue Eigenfunktionen Ψi (x,t) , i = 1, 2, ..., n , zum selben Eigenwert F0 zu bilden, welche orthogonal sind. Eine Methode, die es ermöglicht aus ursprünglich nicht orthogonalen (normierten) Eigenfunktionen ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , orthogonale (normierte) Eigenfunktionen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , zu gewinnen, ist das sogenannte Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Die neuen orthogonalen (normierten) Eigenfunktionen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , ergeben sich dabei folgendermassen (für einen Beweis verweisen wir auf Anhang C)

Linearkombinationen zu unterschiedlichen Eigenwerten

Nachdem wir nun Linearkombinationen von Eigenfunktionen, die zum selben Eigenwert gehören, betrachtet haben, kommen wir nun zu Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten. Genauer gesagt, gehen wir der Frage nach, welche physikalische Bedeutung ein Zustand hat, der eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators ˆF zu verschiedenen Eigenwerten ist.

Wir starten als Beispiel mit den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für ein Teilchen im Potentialtopf. Nach Abschnitt 9.4.2 lauten die Eigenfunktionen

wobei

Wir bilden nun eine Linearkombination der Wellenfunktionen ψn(x,t)

Jeder Summand von (9.274) ist eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (9.94). Dementsprechend ist nach dem Superpositionsprinzip (siehe Abschnitt 9.4.1) auch die Linearkombination ψ(x,t) eine Lösung und stellt damit einen Zustand dar, in dem sich das System befinden kann. Jedoch ist dieser Zustand nicht stationär, denn  * ψ (x,t)ψ(x,t) ist zeitabhängig, da sich die Eigenwerte En nach Voraussetzung unterscheiden.

Wir kommen zu einer allgemeinen Betrachtung. Es sei F eine beliebige Observable und die Funktionen ψ1(x,t) , ψ2(x,t) , ..., ψn (x,t) orthogonale Eigenfunktionen des entsprechenden Operators Fˆ , die zu den Eigenwerten F1 , F2 , ..., Fn gehören, sodass die Eigenwertgleichungen Fˆψi(x,t) = F ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , gelten. Wir betrachten eine beliebige Linearkombination der Eigenfunktionen

und bestimmen den Erwartungswert der Observablen F , wenn sich das Teilchen im Zustand ψ (x,t) befindet. Es ergibt sich

wobei wir im letzten Schritt die Normierung und die Orthogonalität der Eigenfunktionen ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , benützt haben. Dieser Ausdruck führt zur folgenden Interpretation (siehe Postulat 3):

Wenn sich ein Teilchen im Zustand ψ(x,t) = c1ψ1(x,t)+ c2ψ2(x,t)+ ...+ cnψn(x,t) befindet, der eine Linearkombination der orthogonalen Eigenfunktionen ψi(x, t) des Operators ˆF mit den Eigenwerten F i ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit w i , dass eine Messung der Observablen F den Wert Fi liefert, gegeben durch  * wi = cici .

Diese Interpretation gilt auch bei Entartung, vorausgesetzt, dass die zu einem entarteten Eigenwert gehörenden Eigenfunktionen orthogonal sind. Die Konstruktion solcher orthogonaler Eigenfunktionen haben wir zu Beginn des Abschnitts skizziert (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren).

9.5.7 Entwicklung nach Eigenfunktionen

Die Fourier-Reihe ist die Entwicklung einer periodischen Funktion nach einem speziellen orthogonalen Funktionensystem. Das analoge gilt für die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators:

Satz  9.5 Die Eigenfunktionen ψi(x,t) eines hermiteschen Operators  ˆ F bilden auch ein orthogonales Funktionensystem. Erf üllt dieses System die Vollst ändigkeitsrelation

so l ässt sich jeder Zustand ψ(x,t) , in welchem sich das betrachtete quantenmechanische System befinden kann, als Linearkombination dieser Eigenfunktionen ψi(x,t) schreiben. Man spricht dann von einer Entwicklung der Wellenfunktion ψ (x, t) nach den Eigenfunktionen ψi(x,t) des Operators  ˆ F .

Beweis:

Es seien ψ (x,t) i Eigenfunktionen des Operators Fˆ , welche die Vollständigkeitsrelation (9.277) erfüllen, dann gilt für einen beliebigen Zustand ψ (x, t) des betrachteten quantenmechanischen Systems

□

Als Illustration von Satz 9.5 ist im Anhang D die Entwicklung einer Dreiecksfunktion nach den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des Teilchens im Potentialtopf ausgeführt.

Zusammen mit der Interpretation aus dem letzten Abschnitt 9.5.6, lässt sich nun Postulat 3 folgendermassen präzisieren:

Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen F ist ein Eigenwert des zugehörigen Operators Fˆ . Erhält man bei einer Messung den Eigenwert F0 , so geht die Wellenfunktion in die entsprechende Eigenfunktion ψ (x,t) über. D.h. befindet sich das System vor der Messung einer Observablen F nicht in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators ˆF , so ändert die Messung den Zustand des System, sodass sich das System nach der Messung in einem Eigenzustand des Operators ˆF befindet. Die Wahrscheinlichkeit w i , welches Messresultat resultiert und damit welcher Eigenzustand das System nach der Messung einnimmt, ist bestimmt durch den Betrag der Koeffizienten ci der Entwicklung des Zustands vor der Messung nach den Eigenfunktionen des Operators ˆF . Hingegen bleibt der Zustand des Systems unverändert, wenn dieser bereits vor der Messung der Observablen F einem Eigenzustand des entsprechenden Operators ˆF entspricht.

9.6 Verallgemeinerung auf Systeme mit vielen Freiheitsgraden

Der Formalismus, der hier am Beispiel der Bewegung eines einzelnen Teilchens (Massenpunkt) entwickelt wurde, gilt auch für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden. An die Stelle von x und px können auch die kanonisch konjugierten Variablen qk und pk treten. Ausser Ort und Impuls eines Teilchens können Paare von konjugierten Variablen auch andere physikalische Grössen beschreiben, wie zum Beispiel elektrische Ladung und magnetischer Fluss oder Teilchenzahl und Phase. Der Formalismus der Quantenmechanik gilt also sehr allgemein im Konfigurationsraum eines physikalischen Systems.

9.7 Zusammenfassung

  • Die Grundlagen der Quantenmechanik wurde in den Jahren 1925 und 1926 entwickelt. Die Theorie basiert auf einigen wenigen grundlegenden Postulaten, mit deren Hilfe alle Beobachtungen von quantenmechanischen Phänomenen in der Natur korrekt beschrieben werden können. Bis heute hat noch kein Experiment den Vorhersagen der Quantenmechanik widersprochen.
  • Das erstePostulat der Quantenmechanik lautet: Zu einem Teilchen (Massepunkt) gehört eine eindeutige, quadratisch integrable, im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion ψ(x,t) . Sie beschreibt den Zustand des Teilchens. Dabei gibt ψ*(x,t)ψ (x,t)dx die Wahrscheinlichkeit an das Teilchen zur Zeit t zwischen x und x + dx anzutreffen. Die Grösse ψ*(x,t)ψ(x,t) wird daher als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.
  • Die Wellenfunktion erfüllt die Bedingung ∫∞ ψ *(x,t)ψ(x,t)dx = 1 -∞ .
  • Experimentell erfassbare Grössen werden in der Quantenmechanik durch Erwartungswerte charakterisiert. Der Erwartungswert einer Funktion f (x,t) , die eine physikalische Messgrösse beschreibt, ist für einen bestimmten Zeitpunkt t gegeben durch  ∫ ∞ ⟨f(x,t)⟩ = - ∞ ψ*(x,t)f(x,t)ψ (x,t)dx .
  • Anstelle der Ortskoordinate x kann auch der entsprechende Impuls p als Variable für die Wellenfunktion eingeführt werden und somit von der Ortsraumdarstellung in die Impulsraumdarstellung übergehen.
  • Im Gegensatz zur klassischen Mechanik sind in der Quantenmechanik der Ort x und der Impuls p eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt. Dieses Eigenschaft der Quantenmechanik wird als Heisenbergsche Unschärferelation bezeichnet und lautet mathematisch ausgedrückt  1 Δx Δpx ≥ 2ℏ , wobei allgemein die Unschärfe Δf einer Grösse f bestimmt ist durch die Standardabweichung, die durch die Wurzel des Erwartungswerts der Quadrate der Abweichungen vom Erwartungswert gegeben ist  ∘ ------------ ⟨ 2⟩ Δf = (f - ⟨f⟩) .
  • In der Quantenmechanik wird jede physikalische Grösse (Observable) durch einen entsprechenden Operator dargestellt. Ein quantenmechanischer Operator  ˆ F ist dabei definiert durch die Bedingung, dass für eine Funktion ψ (x, t) ∈ L2 gilt Fˆψ = φ (x, t) ∈ L2 . Dabei bezeichnet L2 den Raum der quadratisch integrablen Funktionen. Zudem sind quantenmechanische Operatoren linear, erfüllen das Distributiv- und Assoziativgesetz, erüllen im Allgemeinen das Kommutativgesetz nicht und besitzen reelle Erwartungswerte.
  • Ist die Wellenfunktion ψ (x, y,z,t) eines Teilchens bekannt, so ist der Zustand des Teilchens vollständig charakterisiert. Insbesondere ist es möglich die Erwartungswerte beliebiger Observablen auszurechnen und somit das Verhalten des Teilchens in einem Experiment vorauszusagen. Wie nun aber die Wellenfunktion ψ(x,y,z,t) bestimmt wird, beantwortet das zweite Postulat der Quantenmechanik: Die Wellenfunktion ψ(x,y,z,t) ist eine Lösung der Differentialgleichung

    Diese Gleichung wird nach Schrödinger die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung genannt.

  • Ein Zustand, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Wahrscheinlichkeit ψ *(x,t)ψ (x,t)dx das Teilchen zwischen x und x + dx anzutreffen nicht von der Zeit t abhängt, heisst stationärer Zustand und hat im Allgemeinen die Form ψ(x,t) = u(x)e-iEt∕ℏ . Für die Funktion u(x,y,z) gilt dann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
  • Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung erfüllen im Allgemeinen folgende Eigenschaften: ψ (x, t) und u (x ) sind normierbar, streben mit x → �∞ genügend rasch gegen null (dasselbe gilt auch für die Ableitungen nach x ) und sind für alle x stetig, eindeutig und endlich (dasselbe gilt auch für die Ableitungen nach x ). Zudem gilt das Superpositionsprinzip, d.h. eine beliebige Linearkombination von Lösungen ist ebenfalls eine Lösung.
  • Für ein Teilchen im Zustand ψ(x,t) ist der Erwartungswert ⟨F⟩ einer Observablen F scharf bestimmt, wenn bei wiederholter Messung an identisch gleich präparierten Teilchen immer der selbe Wert F0 resultiert. Mathematisch bedeutet das, dass die Unschärfe ΔF verschwinden muss  ∘ -------------- ⟨ 2⟩ (ΔF )ψ = (F - ⟨F⟩) ψ = 0 . Der Index ψ soll daran erinnern, dass diese Beziehung für ein Teilchen im Zustand ψ (x,t) gilt, denn es hängt vom Zustand ab, ob der Erwartungswert einer Observable einen scharfen Wert annimmt oder nicht.

    Mit Hilfe des Operatorformalismusses lässt sich eine einfache Bedingung angeben, wann der Erwartungswert ⟨F ⟩ ψ einer Observable F im Zustand ψ (x,t) einen scharfen Wert besitzt: Sei der Zustand jedes betrachteten Teilchens beschrieben durch die Wellenfunktion ψ (x, t) im Ortsraum, dann gilt: Der Erwartungswert ⟨F (x,p )⟩ψ einer Observable F (x,p) nimmt genau dann den scharfen Wert F0 an, wenn die Wellenfunktion ψ (x, t) die Gleichung ˆFψ (x, t) = F0ψ (x, t) erfüllt. Diese Gleichung wird als Eigenwertgleichung bezeichnet. Sie besagt, dass sich die Wellenfunktion ψ (x,t) bis auf den Faktor F0 reproduziert, wenn man den Operator ˆF auf sie anwendet. Eine Wellenfunktion ψ (x,t) , die diese Gleichung erfüllt, ist eine Eigenfunktion des Operators ˆF . Der scharfe Wert F 0 , den der Erwartungswert ⟨F(x,p)⟩ψ annimmt, wird Eigenwert des Operators  ˆ F genannt.

  • Das dritte Postulat der Quantenmechanik lautet: Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen F ist ein Eigenwert des zugehörigen Operators Fˆ . Erhält man bei einer Messung den Eigenwert F0 , so geht die Wellenfunktion in die entsprechende Eigenfunktion ψ (x, t) über. D.h. befindet sich das System vor der Messung einer Observablen F nicht in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators Fˆ , so ändert die Messung den Zustand des System, sodass sich das System nach der Messung in einem Eigenzustand des Operators ˆ F befindet. Hingegen bleibt der Zustand des Systems unverändert, wenn dieser bereits vor der Messung der Observablen F einem Eigenzustand des entsprechenden Operators ˆF entspricht.
  • Die Frage, ob Zustände ψ (x,t) existieren, für die die Erwartungswerte von zwei Observablen gleichzeitig scharf sind, beantwortet folgender Satz: Die Erwartungswerte von zwei Observablen F und G eines Teilchens im Zustand ψ(x,t) sind dann und nur dann gleichzeitig scharf, wenn die Anwendung des Kommutators der entsprechenden Operatoren  ˆ F und  ˆ G auf die Wellenfunktion ψ (x,t) null ergibt, d.h. [Fˆ, ˆG]ψ(x,t) = 0 .
  • Zwei Funktionen f(x) und g (x ) nennt man im Variablenbereich a ≤ x ≤ b orthogonal, wenn gilt ∫b * a f (x)g(x)dx = 0 . Für die Wellenfunktionen ψ (x,t) gilt der folgende Satz: Es seien ψm (x,t) und ψn (x,t) Eigenfunktionen des hermiteschen Operators ˆF , die zu verschiedenen Eigenwerten Fm und Fn gehören. Dann sind ψm (x, t) und ψn (x,t) orthogonal in ihrem räumlichen Existenzgebiet, d.h. ∫ ψm*(x,t)ψn (x,t)dx = 0 für m ⁄= n .
  • Häufig gehören zu einem Eigenwert Fm eines Operators Fˆ mehrere verschiedene Eigenfunktionen. In diesem Fall spricht man von Entartung. In diesem Fall gilt der folgende Satz: Eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators ˆF zum selben Eigenwert F 0 ist wieder eine Eigenfunktion des Operators  ˆ F zum selben Eigenwert F0 .
  • Eigenfunktionen zum selben Eigenwert sind nicht notwendigerweise orthogonal. Im Allgemeinen ist es jedoch sehr hilfreich mit orthogonalen Eigenfunktionen rechnen zu können. Nach dem eben aufgeführten Satz ist es nun möglich aus Eigenfunktionen ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , zum selben Eigenwert F0 eines Operators Fˆ neue Eigenfunktionen Ψi(x,t) , i = 1, 2, ..., n , zum selben Eigenwert F0 zu bilden, welche orthogonal sind. Eine Methode, die dies ermöglicht ist das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.
  • Auch ein Zustand, der eine Linearkombination von Eigenfunktionen des Operators ˆ F zu verschiedenen Eigenwerten ist, hat eine physikalische Bedeutung, denn es gilt: Wenn sich ein Teilchen im Zustand ψ (x,t) = c1ψ1(x,t)+ c2ψ2(x,t)+ ...+ cnψn(x,t) befindet, der eine Linearkombination der orthogonalen Eigenfunktionen ψi(x,t) des Operators Fˆ mit den Eigenwerten Fi ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit wi , dass eine Messung der Observablen F den Wert Fi liefert, gegeben durch wi = c*ci i .
  • Es ist möglich Wellenfunktionen nach Eigenfunktionen zu entwickeln, denn es gilt der folgende Satz: Die Eigenfunktionen ψ (x,t) i eines hermiteschen Operators  ˆ F bilden auch ein orthogonales Funktionensystem. Erfüllt dieses System die Vollständigkeitsrelation ∑ * ′ ′ iψi(x ,t)ψi(x,t) = δ(x - x ) , so lässt sich jeder Zustand ψ (x,t) , in welchem sich das betrachtete quantenmechanische System befinden kann, als Linearkombination dieser Eigenfunktionen ψi(x,t) schreiben. Man spricht dann von einer Entwicklung der Wellenfunktion ψ (x,t) nach den Eigenfunktionen ψi(x,t) des Operators Fˆ .
  • Mit diesem Satz lässt sich das dritte Postulat der Quantenmechanik präzisieren: Das Ergebnis einer einzelnen Messung einer Observablen F ist ein Eigenwert des zugehörigen Operators ˆ F . Erhält man bei einer Messung den Eigenwert F0 , so geht die Wellenfunktion in die entsprechende Eigenfunktion ψ (x,t) über. D.h. befindet sich das System vor der Messung einer Observablen F nicht in einem Eigenzustand des entsprechenden Operators Fˆ , so ändert die Messung den Zustand des System, sodass sich das System nach der Messung in einem Eigenzustand des Operators ˆF befindet. Die Wahrscheinlichkeit wi , welches Messresultat resultiert und damit welcher Eigenzustand das System nach der Messung einnimmt, ist bestimmt durch den Betrag der Koeffizienten c i der Entwicklung des Zustands vor der Messung nach den Eigenfunktionen des Operators  ˆ F . Hingegen bleibt der Zustand des Systems unverändert, wenn dieser bereits vor der Messung der Observablen F einem Eigenzustand des entsprechenden Operators ˆF entspricht.
  • Der Formalismus, der hier am Beispiel der Bewegung eines einzelnen Teilchens (Massenpunkt) entwickelt wurde, gilt auch für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden.